椭圆偏微分方程

二阶偏微分方程，即，以下形式之一

(1)

被称为椭圆方程，如果矩阵

(2)

是正定矩阵。椭圆偏微分方程几乎在数学的所有领域都有应用，从调和分析到几何学再到李理论，以及在物理学中的大量应用。与一般的 PDE 一样，椭圆 PDE 可能具有非常系数和非线性。尽管存在这种多样性，椭圆方程仍有完善的理论。

椭圆偏微分方程的基本例子是拉普拉斯方程

(3)

在 维欧几里得空间中，其中拉普拉斯算子 定义为

(4)

椭圆方程的其他例子包括非齐次泊松方程

(5)

以及非线性极小曲面方程。

对于椭圆偏微分方程，边界条件用于给出 在 上的约束，其中

(6)

在 中成立。

常系数椭圆方程的一个性质是可以使用傅里叶变换研究它们的解。考虑具有周期性 的泊松方程。傅里叶级数展开式由下式给出

(7)

其中 被称为“主符号”，因此我们可以求解 。除了 ，乘数是非零的。

一般来说，PDE 可能具有非常系数，甚至是是非线性的。如果线性 PDE 的主符号（如伪微分算子理论中那样）在远离原点处非零，则它是椭圆的。例如，(◇) 的主符号为 ，对于 非零，并且是椭圆 PDE。

如果非线性 PDE 在解 处的线性化在 处是椭圆的，则该非线性 PDE 在解 处是椭圆的。如果非线性方程在任何解处都是椭圆的，则简单地称其为椭圆方程，例如黎曼流形之间的调和映射的情况。