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双调和方程

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通过应用双调和算子并设为零得到的微分方程

del ^4phi=0.
(1)

在笛卡尔坐标中，双调和方程是

del ^4phi=del ^2(del ^2)phi
(2)
=((partial^2)/(partialx^2)+(partial^2)/(partialy^2)+(partial^2)/(partialz^2))((partial^2)/(partialx^2)+(partial^2)/(partialy^2)+(partial^2)/(partialz^2))phi
(3)
=(partial^4phi)/(partialx^4)+(partial^4phi)/(partialy^4)+(partial^4phi)/(partialz^4)+2(partial^4phi)/(partialx^2partialy^2)+2(partial^4phi)/(partialy^2partialz^2)+2(partial^4phi)/(partialx^2partialz^2)
(4)
=0.
(5)

在极坐标中 (Kaplan 1984, p. 148)

del ^4phi=phi_(rrrr)+2/(r^2)phi_(rrthetatheta)+1/(r^4)phi_(thetathetathetatheta)+2/rphi_(rrr)-2/(r^3)phi_(rthetatheta)-1/(r^2)phi_(rr)+4/(r^4)phi_(thetatheta)+1/(r^3)phi_r=0.
(6)

对于径向函数 phi(r)，双调和方程变为

del ^4phi=1/rd/(dr){rd/(dr)[1/rd/(dr)(r(dphi)/(dr))]}
(7)
=phi_(rrrr)+2/rphi_(rrr)-1/(r^2)phi_(rr)+1/(r^3)phi_r=0.
(8)

齐次方程的解是

phi(r)=1/4r^2(2C_2-C_3)+C_4+(C_1+1/2r^2C_3)lnr.
(9)

齐次双调和方程可以在二维双极坐标中分离和求解。

非齐次方程的解

del ^4phi=64beta
(10)

由下式给出

phi(r)=betar^4+1/4r^2(2C_2-C_3)+C_4+(C_1+1/2r^2C_3)lnr.
(11)

另请参阅

双调和算子, 薄板样条, 冯·卡门方程

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参考文献

Kantorovich, L. V. and Krylov, V. I. 高等分析的近似方法。 New York: Interscience, 1958.Kaplan, W. 高等微积分，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1984.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 129, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

双调和方程

引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "双调和方程。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/BiharmonicEquation.html

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