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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程的标量形式是偏微分方程

del ^2psi=0,
(1)

其中 del ^2 是拉普拉斯算子。

请注意，算子 del ^2 通常被数学家写作 Delta（Krantz 1999，第16页）。拉普拉斯方程是亥姆霍兹微分方程的一个特例

del ^2psi+k^2psi=0
(2)

当 k=0 时，或者泊松方程

del ^2psi=-4pirho
(3)

当 rho=0 时。

矢量拉普拉斯方程由下式给出

del ^2F=0.
(4)

满足拉普拉斯方程的函数 psi 被称为调和函数。拉普拉斯方程的解具有以下性质：在球面上的平均值等于球心处的值（高斯调和函数定理）。解没有局部最大值或最小值。由于拉普拉斯方程是线性的，因此任何两个解的叠加也是一个解。

如果满足以下条件之一，则拉普拉斯方程的解是唯一确定的：（1）函数在所有边界上的值是指定的（狄利克雷边界条件）；（2）函数在所有边界上的法向导数是指定的（诺伊曼边界条件）。

坐标系变量解函数
笛卡尔坐标系X(x)Y(y)Z(z)指数函数，圆函数，双曲函数
圆柱坐标系R(r)Theta(theta)Z(z)贝塞尔函数，指数函数，圆函数
圆锥坐标系椭球谐波，幂函数
共焦椭球坐标系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)第一类椭球谐波
椭圆柱坐标系U(u)V(v)Z(z)马蒂厄函数，圆函数
扁球面坐标系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)勒让德多项式，圆函数
抛物线坐标系贝塞尔函数，圆函数
抛物柱面坐标系抛物柱面函数，贝塞尔函数，圆函数
抛物面坐标系U(u)V(v)Theta(theta)圆函数
长球面坐标系Lambda(lambda)M(mu)N(nu)勒让德多项式，圆函数
球坐标系R(r)Theta(theta)Phi(phi)勒让德多项式，幂函数，圆函数

拉普拉斯方程可以通过分离变量法在亥姆霍兹微分方程可以分离变量的所有 11 个坐标系中求解。这些解的形式总结在上表中。除了这 11 个坐标系之外，通过引入一个乘法因子，还可以在另外两个坐标系中实现分离变量法。在这些坐标系中，分离后的形式是

psi=(X_1(u_1)X_2(u_2)X_3(u_3))/(R(u_1,u_2,u_3)),
(5)

并设置

(h_1h_2h_3)/(h_i^2)=g_i(u_(i+1),u_(i+2))f_i(u_i)R^2,
(6)

其中 h_i 是比例因子，得到拉普拉斯方程

sum_(i=1)^31/(h_i^2X_i)[1/(f_i)d/(du_i)(f_i(dX_i)/(du_i))]=sum_(i=1)^31/(h_i^2R)[1/(f_i)partial/(partialu_i)(f_i(partialR)/(partialu_i))].
(7)

如果右侧等于 -k_1^2/F(u_1,u_2,u_3)，其中 k_1 是常数， 是任意函数，并且如果

h_1h_2h_3=Sf_1f_2f_3R^2F,
(8)

其中 S 是Stäckel 行列式，那么可以使用亥姆霍兹微分方程的方法求解该方程。这种情况适用的两个系统是双球坐标系和环面坐标系，这使得拉普拉斯方程的可分离系统总数达到 13 个（Morse 和 Feshbach 1953，第 665-666 页）。

在二维双极坐标系中，拉普拉斯方程是可分离的，尽管亥姆霍兹微分方程不是。

Zwillinger（1997，第128页）称

(a_0x+b_0)y^((n))+(a_1x+b_1)y^((n-1))+...+(a_nx+b_n)y=0
(9)

为拉普拉斯方程。

另请参阅

边界条件，第一类椭球谐波，调和函数，亥姆霍兹微分方程，拉普拉斯算子，偏微分方程，泊松方程，分离变量法，Stäckel 行列式

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, 1959.Eisenhart, L. P. "Separable Systems in Euclidean 3-Space." Physical Review 45, 427-428, 1934.Eisenhart, L. P. "Separable Systems of Stäckel." Ann. Math. 35, 284-305, 1934.Eisenhart, L. P. "Potentials for Which Schroedinger Equations Are Separable." Phys. Rev. 74, 87-89, 1948.Krantz, S. G. "The Laplace Equation." §7.1.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 16 and 89, 1999.Moon, P. and Spencer, D. E. "Recent Investigations of the Separation of Laplace's Equation." Proc. Amer. Math. Soc. 4, 302, 1953.Moon, P. and Spencer, D. E. "Eleven Coordinate Systems." §1 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 1-48, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 125-126 and 271, 1953.Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, pp. 306-315, 1950.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 128, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中引用

拉普拉斯方程

请这样引用

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯方程。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/LaplacesEquation.html

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