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平均偏差

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平均偏差（也称为平均绝对偏差）是一组数据相对于数据均值的绝对偏差的均值。对于样本量 N，平均偏差定义为

MD=1/Nsum_(i=1)^N|x_i-x^_|,
(1)

其中 x^_ 是分布的均值。数字列表的平均偏差在 Wolfram 语言中实现为MeanDeviation[data].

离散分布 P_i（定义为 i=1, 2, ..., N）的平均偏差由下式给出

MD=sum_(i=1)^NP_i|x_i-x^_|.
(2)

平均偏差是一个重要的描述性统计量，但在数理统计中并不常见。这主要是因为虽然平均偏差有一个自然的直观定义，即“与均值的平均偏差”，但绝对值的引入使得使用该统计量进行分析计算比标准偏差复杂得多

sigma=sqrt(1/Nsum_(i=1)^N(x_i-x^_)^2).
(3)

因此，最小二乘拟合和其他标准统计技术依赖于最小化平方残差之和，而不是绝对残差之和。

例如，考虑由 n 个可能结果组成的离散均匀分布，其中对于 i=1, 2, ..., N，P_i=1/N。 均值由下式给出

x^_=sum_(i=1)^NiP_i=1/Nsum_(i=1)^Ni=1/2(N+1).
(4)

方差（以及它的平方根，即标准偏差）也很容易获得，如下所示

sigma^2=sum_(i=1)^N(i-x^_)^2P_i=1/(12)(N-1)(N+1).
(5)

另一方面，平均偏差由下式给出

MD=sum_(i=1)^N|i-x^_|P_i=1/Nsum_(i=1)^N|i-x^_|.
(6)

这可以以闭合形式获得，但非常笨拙，因为它需要将被加数分成两部分，并分别处理 n 为偶数和奇数的情况。

下表总结了一些命名的连续分布的平均绝对偏差，其中 B(z;a,b) 是不完全贝塔函数，B(a,b) 是贝塔函数，Gamma(z) 是伽玛函数，gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，G_(2,1)^(0,2)(a,b|m) 是梅耶 G 函数，Ei(z) 是指数积分函数，erf(z) 是 erf，erfc(z) 是 erfc。

分布平均偏差
贝塔分布(2alphaB(alpha/(alpha+beta);alpha,beta)-2(alpha+beta)B(alpha/(alpha+beta);alpha+1,beta))/((alpha+beta)B(alpha,beta))
卡方分布((2e)^(-nu/2)nu^(nu/2+1)(nu+2))/(Gamma(2+1/2nu))
指数分布2/(elambda)
伽玛分布(2e^(-alpha)alpha^alphabeta)/(Gamma(alpha))
耿贝尔分布beta[G_(2,1)^(2,0)(e,gamma^(-1)|1,1; 0)-Ei(sinhgamma-coshgamma)]
半正态分布2/theta[e^(-1/pi)+erf(1/(sqrt(pi)))]
拉普拉斯分布beta
逻辑斯谛分布2betaln2
对数正态分布2e^(mu+sigma^2/2)erf(sigma/(2sqrt(2)))
麦克斯韦分布4e^(-4/pi)sqrt(2/pi)sigma[1+e^(4/pi)erf(2/(sqrt(pi)))]
正态分布sqrt(2/pi)sigma
帕累托分布alpha/(sqrt(2pi))
瑞利分布sqrt(2pi)erfc((sqrt(pi))/2)
学生 t 分布(sqrt(nu))/((nu-1)B(1/2nu,1/2))
学生 t 分布(2sqrt(nu)sigma-nu^(nu/2)sigma^nusqrt(mu^2+nusigma^2))/((nu-1)B(1/2nu,1/2))
三角分布1/6(b-a)
三角分布{(2(b+c-2a)^3)/(81(a-b)(a-c)) for a+b<2c; (2(a+c-2b)^3)/(81(a-b)(b-c)) for a+b>2c
均匀分布1/4(b-a)

下表总结了一些命名的离散分布的平均绝对偏差，其中 mu=zeta(rho)/zeta(rho+1)。

分布平均偏差
伯努利分布2p(1-p)
二项分布2(1-p)^(N-|_Np_|)p^(|_Np_|+1)(|_Np_|+1)(N; |_Np_|+1)
离散均匀分布{1/4N for N even; ((N-1)(N+1))/(4N) for N odd
几何分布2(1-p)^(|_1/p_|)|_1/p_|
泊松分布(2e^(-nu)nu^(|_nu_|+1))/(|_nu_|!)
齐普夫分布(2[zeta(rho+1)zeta(rho,|_mu_|+1)-zeta(rho)zeta(rho+1,|_mu_|+1)])/(zeta^2(rho+1))

另请参阅

绝对偏差, 标准偏差, 方差

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参考文献

Havil, J. "均值的方法。" §13.1 in Gamma: 探索欧拉常数。 普林斯顿，新泽西州：普林斯顿大学出版社，第 119-121 页，2003 年。Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "平均绝对偏差。" §6.4 in 数理统计，第 1 部分，第 3 版。 普林斯顿，新泽西州：范·诺strand，第 76-77 页，1962 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

平均偏差

请这样引用

韦斯坦因，埃里克·W. "平均偏差。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MeanDeviation.html

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