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耿贝尔分布

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Fisher-Tippett 极值分布基本上有三种类型。最常见的是 I 型分布，有时被称为耿贝尔型或简称耿贝尔分布。这些是对于 N 个元素 X_i 的分布的极端次序统计量的分布。在这项工作中，“耿贝尔分布”一词用于指代对应于最小值极值分布的分布（即，最小值 X^(<1>) 的分布）。

位置参数 alpha 和尺度参数 beta 的耿贝尔分布在 Wolfram 语言中实现为GumbelDistribution[alpha, beta].

它具有概率密度函数和分布函数

P(x)=1/betaexp[(x-alpha)/beta-exp((x-alpha)/beta)]
(1)
D(x)=1-exp[-exp((x-alpha)/beta)].
(2)

均值、方差、偏度和超额峰度为

mu=alpha-gammabeta
(3)
sigma^2=1/6pi^2beta^2
(4)
gamma_1=-(12sqrt(6)zeta(3))/(pi^3)
(5)
gamma_2=(12)/5,
(6)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，zeta(3) 是阿佩里常数。

ExtremeValueDistribution

从单位区间上的连续均匀分布中抽取的 X^(<1>) 的分布具有概率函数

P_N(x)=Nx^(N-1),
(7)

和分布函数

D_N(x)=x^N.
(8)

第 k 阶原点矩由下式给出

mu_k^'=N/(k+N).
(9)

前几个中心矩为

mu_2=N/((N+1)^2(N+2))
(10)
mu_3=-(2N(N-1))/((N+1)^3(N^2+5N+6))
(11)
mu_4=(N(9N^2-3N+6))/((N+1)^4(N+2)(N+3)(N+4)).
(12)

因此，均值、方差、偏度和超额峰度由下式给出

mu=N/(N+1)
(13)
sigma^2=N/((N+1)^2(N+2))
(14)
gamma_1=-(2(N-1))/(N+3)sqrt((N+2)/N)
(15)
gamma_2=(6(N^3-N^2-6N+2))/(N(N+3)(N+4)).
(16)

如果 X_i 改为从标准正态分布中抽取，则相应的累积分布为

F(x)=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^xe^(-t^2/2)dt
(17)
=1/2+Phi(x),
(18)

其中 Phi(x) 是正态分布函数。那么 X^(<1>) 的概率分布为

P(M_n<x)=[F(x)]^n
(19)
=n/(sqrt(2pi))int_(-infty)^x[F(t)]^(n-1)e^(-t^2/2)dt.
(20)

对于小的 n，均值 mu(n) 和方差 sigma^2(n) 可以用闭合形式表示,

mu(1)=0
(21)
mu(2)=1/(sqrt(pi))
(22)
mu(3)=3/(2sqrt(pi))
(23)
mu(4)=3/(2sqrt(pi))[1+2/pisin^(-1)(1/3)]
(24)
mu(5)=5/(4sqrt(pi))[1+6/pisin^(-1)(1/3)]
(25)

和

sigma^2(1)=1
(26)
sigma^2(2)=1-1/pi
(27)
sigma^2(3)=(4pi-9+2sqrt(3))/(4pi)
(28)
sigma^2(4)=1+(sqrt(3))/pi-mu^2(4)
(29)
sigma^2(5)=1+(5sqrt(3))/(4pi)+(5sqrt(3))/(2pi^2)sin^(-1)(1/4)-mu^2(5).
(30)

mu(6) 或 sigma^2(6) 没有已知的精确表达式，但是有一个方程将它们联系起来

mu^2(6)+sigma^2(6)=1+(5sqrt(3))/(4pi)+(15sqrt(3))/(2pi^2)sin^(-1)(1/4).
(31)

另请参阅

极值分布, 逆耿贝尔分布

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参考文献

Gumbel, E. J. "多元极值分布。" 国际统计学会公报 37, 471-475, 1960a.Gumbel, E. J. "多维极值分布。" 巴黎统计研究所出版物 9, 171-173, 1960b.Gumbel, E. J. "二元 Logistic 分布。" 美国统计协会杂志 56, 335-349, 1961.Gumbel, E. J. 和 Mustafi, C. K. "二元极值分布的一些分析性质。" 美国统计协会杂志 62, 569-588, 1967.Johnson, N.; Kotz, S.; 和 Balakrishnan, N. 连续单变量分布，第 2 卷，第二版。 纽约: Wiley, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

耿贝尔分布

请引用为

Weisstein, Eric W. "耿贝尔分布。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GumbelDistribution.html

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