主题
Search

不完全贝塔函数

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

完全贝塔函数的推广，定义为

B(z;a,b)=int_0^zu^(a-1)(1-u)^(b-1)du,
(1)

有时也表示为 B_z(a,b)。所谓的切比雪夫积分由下式给出

intx^p(1-x)^qdx=B(x;1+p,1+q).
(2)

不完全贝塔函数在 Wolfram 语言中实现为Beta[z, a, b].

它由超几何函数表示为

B(z;a,b)=(z^a)/a_2F_1(a,1-b;a+1;z)
(3)
=z^aGamma(a)_2F^~_1(a,1-b;a+1;z).
(4)

它也由以下级数给出

B(z;a,b)=z^asum_(n=0)^infty((1-b)_n)/(n!(a+n))z^n,
(5)

其中 (x)_n 是Pochhammer 符号。

当 z=1, 时，不完全贝塔函数 B(z;a,b) 简化为通常的贝塔函数 B(a,b)，

B(1;a,b)=B(a,b).
(6)

它的导数为

(dB(z;a,b))/(dz)=(1-z)^(b-1)z^(a-1)
(7)

和不定积分为

intB(z;a,b)dz=zB(z;a,b)-B(z,a+1,b).
(8)

另请参阅

贝塔函数, 切比雪夫积分, 正则化贝塔函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta3/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta4/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Pearson, K. (Ed.). 不完全贝塔函数表，第二版。 英国剑桥：剑桥大学出版社，1968 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

不完全贝塔函数

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "不完全贝塔函数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/IncompleteBetaFunction.html

主题分类