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帕累托分布

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ParetoDistribution

具有概率密度函数和分布函数的分布

P(x)=(ab^a)/(x^(a+1))
(1)
D(x)=1-(b/x)^a
(2)

定义在区间 x>=b。

它在 Wolfram 语言 中实现为ParetoDistribution[k, alpha]。

第 n 阶原点矩为

mu_n^'=(ab^n)/(a-n)
(3)

对于 a>n，给出前几个为

mu_1^'=(ab)/(a-1)
(4)
mu_2^'=(ab^2)/(a-2)
(5)
mu_3^'=(ab^3)/(a-3)
(6)
mu_4^'=(ab^4)/(a-4).
(7)

第 n 阶 中心矩 为

mu_n=ab^nGamma(a-n)_2F^~_1(a-n,-n;1+a-n;a/(a-1))
(8)
=(1-a)^(a-n)(-a)^(n-a)ab^nB(a/(a-1);a-n,n+1),
(9)

对于 a>n 且其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，_2F^~_1(a,b;c;z) 是 正则化超几何函数，以及 B(z;a,b) 是 贝塔函数，给出前几个为

mu_2=(ab^2)/((a-1)^2(a-2))
(10)
mu_3=(2a(a+1)b^3)/((a-1)^3(a-2)(a-3))
(11)
mu_4=(3a(3a^3+a+2)b^4)/((a-1)^4(a-2)(a-3)(a-4)).
(12)

均值、方差、偏度 和 超额峰度 因此为

mu=(ab)/(a-1)
(13)
sigma^2=(ab^2)/((a-1)^2(a-2))
(14)
gamma_1=sqrt((a-2)/a)(2(a+1))/(a-3)
(15)
gamma_2=(6(a^3+a^2-6a-2))/(a(a-3)(a-4)).
(16)

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

von Seggern, D. CRC 标准曲线和曲面。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 252, 1993。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

帕累托分布

请引用为

Weisstein, Eric W. “帕累托分布。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ParetoDistribution.html

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