Beta 函数

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beta 函数是勒让德和惠特克与沃森 (1990) 对 beta 积分（也称为第一类欧拉积分）使用的名称。它由下式定义：

(1)

beta 函数在 Wolfram 语言中实现为Beta[a, b]。

为了推导 beta 函数的积分表示，将两个阶乘的乘积写成：

(2)

现在，令，，则

			(3)
			(4)

使用，变换到极坐标：

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

然后 beta 函数定义为：

			(9)
			(10)

重写自变量，得到 beta 函数的常用形式：

			(11)
			(12)

根据对称性，

(13)

一般三角形式为：

(14)

通过令，方程 (14) 可以转换为关于多项式的积分：

			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

对于任何且，

(19)

（Krantz 1999，第 158 页）。

为了将其转换为可用于推导勒让德倍增公式的形式，令，则且，以及

			(20)
			(21)

为了将其转换为可用于开发贝塞尔函数和超几何函数的积分表示的形式，令，则

(22)

beta 函数的导数由下式给出：

			(23)
			(24)
		$B(a,b){[psi_0(b)-psi_0(a+b)]^2+psi_1(b)-psi_1(a+b)},$	(25)
		$B(a,b){[psi_0(a)-psi_0(a+b)]×[psi_0(b)-psi_0(a+b)]-psi_1(a+b)},$	(26)

其中是多伽玛函数。

可以使用高斯乘法公式推导出各种恒等式：

			(27)
			(28)

其他恒等式包括：

			(29)
			(30)
			(31)

(32)

(33)

如果是一个正整数，则

(34)

此外，

(35)

(36)

beta 函数也由以下乘积给出：

(37)

（Andrews et al. 1999，第 8 页）。

Gosper 给出了通用公式：

product_(i=0)^(2n)B(i/(2n+1)+a,i/(2n+1)+b)
=((2n+1)^((2n+1)/2)pi^nB(n,1/2[(b+a)(2n+1)+1])B(a(2n+1),b(2n+1)))/((n-1)!)

(38)

对于奇数，以及

product_(i=0)^(2n-1)B(i/(2n)+a,i/(2n)+b)
=(n^npi^nB(n,2(a+b)n)B(2an,2bn))/(2^(2(a+b)n-n-1)(n-1)!B((a+b)n,(a+b+1)n)),

(39)

这是 gamma 函数的类似恒等式的直接结果。将和代入上述公式，得到特殊情况：

(40)

B(a,b)B(a+1/4,b+1/4)B(a+1/2,b+1/2)B(a+3/4,b+3/4)
=(2^(3-4(a+b))pi^2B(4a,4b))/((a+b)[1+4(a+b)]B(2(a+b),2(a+b+1))).

(41)

另请参阅

Beta 积分、中心 Beta 函数、狄利克雷 Beta 函数、狄利克雷积分、Gamma 函数、不完全 Beta 函数、正则化 Beta 函数

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Beta Function" and "Incomplete Beta Function." §6.2 and 6.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258 and 263, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.Arfken, G. "The Beta Function." §10.4 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 560-565, 1985.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Beta Function." §1.5 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 9-13, 1981.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Beta Function." §15.02 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 463-464, 1988.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 6-9, 1998.Krantz, S. G. "The Beta Function." §13.1.11 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 157-158, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 425, 1953.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Beta Function, Student's Distribution, F-Distribution, Cumulative Binomial Distribution." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 219-223, 1992.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Incomplete Beta Function

." Ch. 58 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 573-580, 1987.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course of Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 上引用

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请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Beta 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/BetaFunction.html

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