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离散均匀分布

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离散均匀分布也称为“等可能结果”分布。设集合 S 拥有 N 个元素，每个元素具有相同的概率，则

P(S)=P( union _(i=1)^NE_i)
(1)
=sum_(i=1)^(N)P(E_i)
(2)
=P(E_i)sum_(i=1)^(N)1
(3)
=NP(E_i),
(4)

因此使用 P(S)=1 得到

P(E_i)=1/N.
(5)

将集合 S 限制为正整数集合 1, 2, ..., N，则此离散均匀分布的概率分布函数和累积分布函数为

P(n)=1/N
(6)
D(n)=n/N
(7)

对于 n=1, ..., N。

离散均匀分布在 Wolfram 语言中实现为DiscreteUniformDistribution[n]。

它的矩量生成函数是

M(t)=<e^(nt)>
(8)
=sum_(n=1)^(N)1/Ne^(nt)
(9)
=1/N(e^t-e^(t(N+1)))/(1-e^t)
(10)
=(e^t(1-e^(Nt)))/(N(1-e^t)).
(11)

关于 0 的矩是

mu_m^'=1/Nsum_(n=1)^Nn^m,
(12)

因此

mu_1^'=1/2(N+1)
(13)
mu_2^'=1/6(N+1)(2N+1)
(14)
mu_3^'=1/4N(N+1)^2
(15)
mu_4^'=1/(30)(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1),
(16)

而关于均值的矩是

mu_2=1/(12)(N-1)(N+1)
(17)
mu_3=0
(18)
mu_4=1/(240)(N-1)(N+1)(3N^2-7).
(19)

均值、方差、偏度和峰度超额为

mu=1/2(N+1)
(20)
sigma^2=1/(12)(N-1)(N+1)
(21)
gamma_1=0
(22)
gamma_2=-(6(N^2+1))/(5(N-1)(N+1)).
(23)
UniformDistributionMeanDeviation

对于 N 个元素的均匀分布，平均偏差由下式给出

MD=1/Nsum_(k=1)|k-1/2(N+1)|.
(24)

为了进行求和，分别考虑 N 为奇数的情况，

MD=1/Nsum_(k=1)^(N)|k-m|
(25)
=1/N[sum_(k=1)^(m-1)m-k+sum_(k=m+1)^(N)k-m]
(26)
=(2m^2-2m(N+1)+N^2+N)/(2N)
(27)
=(N^2-1)/(4N).
(28)

类似地，对于 N=2m 为偶数的情况，

MD=1/Nsum_(k=1)^(N)|k-(m+1/2)|
(29)
=1/N[sum_(k=1)^(m)(m+1/2)-k+sum_(k=m+1)^(N)k-(m+1/2)]
(30)
=N/2+(m^2)/N-m
(31)
=1/4N.
(32)

完整的解因此是

MD={(N^2-1)/(4N) for N odd; 1/4N for N even.
(33)

对于 N=1, 2, ..., 前几个值是 0, 1/2, 2/3, 1, 6/5, 3/2, 12/7, ... (OEIS A086111 和 A086112)。

另请参阅

离散分布, 均匀分布

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Sloane, N. J. A. 序列 A086111 和 A086112，收录于“整数序列在线百科全书”。

在 Wolfram|Alpha 中引用

离散均匀分布

请引用为

Weisstein, Eric W. “离散均匀分布”。来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DiscreteUniformDistribution.html

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