主题
Search

第一类椭球谐函数

Lamé 微分方程的第一类解，记作 E_n^m(x)，其中 m=1, ..., 2n+1。它们也被称为第一类 Lamé 函数。两个第一类椭球谐函数的乘积是一个球谐函数。Whittaker 和 Watson (1990, pp. 536-537) 写道

Theta_p=(x^2)/(a^2+theta_p)+(y^2)/(b^2+theta_p)+(z^2)/(c^2+theta_p)-1
(1)
Pi(Theta)=Theta_1Theta_2...Theta_m,
(2)

并给出了各种类型的椭球谐函数及其最高阶项，如下所示

1. Pi(Theta):2m

2. xPi(Theta),yPi(Theta),zPi(Theta):2m+1

3. yzPi(Theta),zxPi(Theta),xyPi(Theta):2m+2

4. xyzPi(Theta):2m+3.

次数为 n 的 Lamé 函数可以表示为

(theta+a^2)^(kappa_1)(theta+b^2)^(kappa_2)(theta+c^2)^(kappa_3)product_(p=1)^m(theta-theta_p),
(3)

其中 kappa_i=0 或 1/2, theta_i 是实数，彼此之间以及与 -a^2, -b^2, 和 -c^2 均不相等，并且

1/2n=m+kappa_1+kappa_2+kappa_3.
(4)

Byerly (1959) 使用递推关系式显式计算了一些椭球谐函数，他将这些函数记为 K(x), L(x), M(x), 和 N(x),

K_0(x)=1
(5)
L_0(x)=0
(6)
M_0(x)=0
(7)
N_0(x)=0
(8)
K_1(x)=x
(9)
L_1(x)=sqrt(x^2-b^2)
(10)
M_1(x)=sqrt(x^2-c^2)
(11)
N_1(x)=0
(12)
K_2^(p_1)(x)=x^2-1/3[b^2+c^2-sqrt((b^2+c^2)^2-3b^2c^2)]
(13)
K_2^(p_2)(x)=x^2-1/3[b^2+c^2+sqrt((b^2+c^2)^2-3b^2c^2)]
(14)
L_2(x)=xsqrt(x^2-b^2)
(15)
M_2(x)=xsqrt(x^2-c^2)
(16)
N_2(x)=sqrt((x^2-b^2)(x^2-c^2))
(17)
K_3^(p_1)(x)=x^3-1/5x[2(b^2+c^2)-sqrt(4(b^2+c^2)^2-15b^2c^2)]
(18)
K_3^(p_2)(x)=x^3-1/5x[2(b^2+c^2)+sqrt(4(b^2+c^2)^2-15b^2c^2)]
(19)
L_3^(q_1)(x)=sqrt(x^2-b^2)[x^2-1/5(b^2+2c^2-sqrt((b^2+2c^2)^2-5b^2c^2))]
(20)
L_3^(q_2)(x)=sqrt(x^2-b^2)[x^2-1/5(b^2+2c^2+sqrt((b^2+2c^2)^2-5b^2c^2))]
(21)
M_3^(q_1)(x)=sqrt(x^2-c^2)[x^2-1/5(2b^2+c^2-sqrt((2b^2+c^2)^2-5b^2c^2))]
(22)
M_3^(q_2)(x)=sqrt(x^2-c^2)[x^2-1/5(2b^2+c^2+sqrt((2b^2+c^2)^2-5b^2c^2))]
(23)
M_3^(q_3)(x)=xsqrt((x^2-b^2)(x^2-c^2)).
(24)

另请参阅

第二类椭球谐函数, Stieltjes 定理

使用 探索

参考文献

Byerly, W. E. "曲线坐标系中的拉普拉斯方程。椭球谐函数。" Ch. 8 in 傅里叶级数以及球谐函数、柱谐函数和椭球谐函数基础教程，附带在数学物理问题中的应用。 New York: Dover, pp. 251-266, 1959.Humbert, P. Lamé 函数和 Mathieu 函数。 Paris: Gauthier-Villars, 1926.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 中引用

第一类椭球谐函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "第一类椭球谐函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipsoidalHarmonicoftheFirstKind.html

学科分类