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抛物柱面函数

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抛物柱面函数是一类有时被称为韦伯函数的函数。不同作者对其定义略有不同。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 347) 将抛物柱面函数 D_nu(z) 定义为 韦伯微分方程 的解

y^('')(z)+(nu+1/2-1/4z^2)y(z)=0.
(1)

两个独立的解由 y=D_nu(z) 和 y=D_(-nu-1)(iz) 给出，其中

D_nu(z)=2^(nu/2+1/4)z^(-1/2)W_(nu/2+1/4,-1/4)(1/2z^2)
(2)
=(2^(nu/2)e^(-z^2/4)(-iz)^(1/4)(iz)^(1/4))/(sqrt(z))U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),
(3)

在 右半平面 R[z]>0 中，这等价于

D_nu(z)=2^(nu/2)e^(-z^2/4)U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),
(4)

其中 W_(k,m)(z) 是 惠特克函数 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 347; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 1018)，U(a,b,z) 是 第一类合流超几何函数。

此函数在 Wolfram 语言 中实现为ParabolicCylinderD[nu, z].

ParabolicCylinderD

对于 nu 为 非负整数 n，解 D_n 简化为

D_n(x)=2^(-n/2)e^(-x^2/4)H_n(x/(sqrt(2)))
(5)
=e^(-x^2/4)He_n(x),
(6)

其中 H_n(x) 是 埃尔米特多项式，He_n 是修正的 埃尔米特多项式。特殊情况包括

D_(-1)(z)=e^(z^2/4)sqrt(pi/2)erfc(z/(sqrt(2)))
(7)
D_(-1/2)(z)=sqrt(z/(2pi))K_(1/4)(1/4z^2)
(8)

对于 R[z]>0，其中 K_nu(z) 是 第二类修正贝塞尔函数。

ParabolicCylinderDReIm
ParabolicCylinderDContours

函数 D_1(z) 在复平面上的图示如上所示。

抛物柱面函数 D_nu 满足 递推关系

D_(nu+1)(z)-zD_nu(z)+nuD_(nu-1)(z)=0
(9)
D_nu^'(z)+1/2zD_nu(z)-nuD_(nu-1)(z)=0.
(10)

对于整数 n，抛物柱面函数可以用积分定义为

D_n(z)=1/piint_0^pisin(ntheta-zsintheta)dtheta
(11)

(Watson 1966, p. 308)，这类似于 安格函数。结果

int_(-infty)^inftyD_m(x)D_n(x)dx=delta_(mn)n!sqrt(2pi),
(12)

其中 delta_(ij) 是 克罗内克 delta，也可用于确定展开式中的 系数

f(z)=sum_(n=0)^inftya_nD_n
(13)

为

a_n=1/(n!sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyD_n(t)f(t)dt.
(14)

对于实数 nu，

int_0^infty[D_nu(t)]^2dt=pi^(1/2)2^(-3/2)(phi_0(1/2-1/2nu)-phi_0(-1/2nu))/(Gamma(-nu))
(15)

(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 885, 7.711.3)，其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，phi_0(z) 是 0 阶 多伽玛函数。

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 686) 将抛物柱面函数定义为以下方程的解

y^('')+(ax^2+bx+c)y=0,
(16)

有时称为 抛物柱面微分方程 (Zwillinger 1995, p. 414; Zwillinger 1997, p. 126)。这可以通过 配方法 重写为

y^('')+[a(x+b/(2a))^2-(b^2)/(4a)+c]y=0.
(17)

现在令

u=x+b/(2a)
(18)
du=dx
(19)

得到

(d^2y)/(du^2)+(au^2+d)y=0
(20)

其中

d=(b^2)/(4a)+c.
(21)

方程 (◇) 有两种标准形式

y^('')-(1/4x^2+a)y=0
(22)
y^('')+(1/4x^2-a)y=0.
(23)

对于一般的 a，方程 (◇) 的 偶 解和 奇 解为

y_1(x)=e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)
(24)
y_2(x)=xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2),
(25)

其中 _1F_1(a;b;z) 是 第一类合流超几何函数。如果 y(a,x) 是方程 (22) 的解，则方程 (23) 的解为

y(+/-ia,xe^(∓ipi/4)),y(+/-ia,-xe^(∓ipi/4)).
(26)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 687) 将方程 (◇) 的标准解定义为

U(a,x)=cos[pi(1/4+1/2a)]Y_1-sin[pi(1/4+1/2a)]Y_2
(27)
V(a,x)=(sin[pi(1/4+1/2a)]Y_1+cos[pi(1/4+1/2a)]Y_2)/(Gamma(1/2-a)),
(28)
Y_1=1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))y_1
(29)
=1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)
(30)
Y_2=1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))y_2
(31)
=1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2).
(32)

用 Whittaker 和 Watson 的函数表示为，

U(a,x)=D_(-a-1/2)(x)
(33)
V(a,x)=(Gamma(1/2+a)[sin(pia)D_(-a-1/2)(x)+D_(-a-1/2)(-x)])/pi.
(34)

另请参阅

安格函数, 贝塞尔函数, 达尔文展开, Hh 函数, 抛物柱面坐标系, 抛物柱面微分方程, 斯特鲁夫函数, 惠特克函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "抛物柱面函数." 第 19 章，在 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, pp. 685-700, 1972.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "抛物柱面函数" 和 "抛物柱面函数 D_p(z)" §7.7 和 9.24-9.25，在 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 加利福尼亚州圣地亚哥: Academic Press, pp. 835-842, 1018-1021, 2000.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编). "抛物柱面函数 (韦伯函数)." 附录 A，表 20.III，在 数学百科词典。 马萨诸塞州剑桥: MIT Press, p. 1479, 1980.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "抛物柱面函数、埃尔米特函数和 Hh 函数" 等。§23.08-23.081，在 数学物理方法，第 3 版。 英国剑桥: Cambridge University Press, pp. 620-627, 1988.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "抛物柱面函数 D_nu(x)." 第 46 章，在 函数图集。 华盛顿特区: Hemisphere, pp. 445-457, 1987.Watson, G. N. 贝塞尔函数理论专著，第 2 版。 英国剑桥: Cambridge University Press, 1966.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "抛物柱面函数." §16.5，在 现代分析教程，第 4 版。 英国剑桥: Cambridge University Press, pp. 347-348, 1990.Zwillinger, D. (编). CRC 标准数学表格和公式手册。 佛罗里达州博卡拉顿: CRC Press, p. 414, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 马萨诸塞州波士顿: Academic Press, p. 126, 1997.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

抛物柱面函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "抛物柱面函数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ParabolicCylinderFunction.html

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