Mathieu 函数

Mathieu 函数是 Mathieu 微分方程 的解

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偶 解用 表示，奇 解用 表示。这些由 Wolfram 语言 函数返回MathieuC[a, q, z] 和MathieuS[a, q, z]，分别地。类似地，它们的导数实现为MathieuCPrime[a, q, z] 和MathieuSPrime[a, q, z]。

这些函数出现在涉及椭圆形状或周期势的物理问题中，最早由 Mathieu (1868) 在分析椭圆膜的运动时引入。不幸的是，Mathieu 函数的解析确定“提出了很大的困难”（Whittaker 1914，Frenkel 和 Portugal 2001），并且它们很难使用，“主要是因为无法以简单方便的方式解析表示它们”（Sips 1949，Frenkel 和 Portugal 2001）。

Mathieu 函数具有特殊值

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对于非零 ，Mathieu 函数仅在 中是周期的，对于某些 值。这些特征值由 Wolfram 语言 函数给出MathieuCharacteristicA[r, q] 和MathieuCharacteristicB[r, q]，其中 是整数或有理数。这些值通常表示为 和 。一般来说， 和 都是具有非常复杂分支切割结构的多值函数。不幸的是，对于如何定义分支切割没有普遍的共识。因此，Wolfram 语言 的实现只是选择了一个方便的 sheet。

对于整数 ，具有特征值 和 的偶数和奇数 Mathieu 函数通常表示为 和 ，分别称为椭圆余弦和椭圆正弦函数 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 725; Frenkel and Portugal 2001)。上面的左图显示 对于 , 1, ..., 4，右图显示 对于 , ..., 4。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 405) 基于以下方程定义 Mathieu 函数

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这个方程与 Hill 微分方程 密切相关。对于偶 Mathieu 函数，

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其中 。对于奇 Mathieu 函数，

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偶函数和奇函数都满足

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令 将 Mathieu 微分方程 转换为

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