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环形坐标

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ToroidalCoordinates
ToroidalCoordinates3D

一种常用的曲线坐标系，有几种不同的表示法。本文使用 (u,v,phi)，Arfken (1970) 使用 (xi,eta,phi)，Moon 和 Spencer (1988) 使用 (eta,theta,psi)。环形坐标定义为

x=(asinhvcosphi)/(coshv-cosu)
(1)
y=(asinhvsinphi)/(coshv-cosu)
(2)
z=(asinu)/(coshv-cosu),
(3)

其中 sinhz 是双曲正弦，coshz 是双曲余弦。坐标满足 u in [0,2pi), v in [0,infty), 和 phi in [0,2pi)。

常数 v 的曲面由环面给出

x^2+y^2+z^2+a^2=2asqrt(x^2+y^2)cothv,
(4)

常数 u 的曲面由球面碗给出

x^2+y^2+(z-acotu)^2=(a^2)/(sin^2u),
(5)

球心位于 (0,0,acotu)，半径为 a|cscu| 的球面

2azcotu=x^2+y^2+z^2-a^2,
(6)

常数 phi 的曲面由以下给出

tanphi=y/x.
(7)

尺度因子为

h_u=a/(coshv-cosu)
(8)
h_v=a/(coshv-cosu)
(9)
h_phi=(asinhv)/(coshv-cosu).
(10)

拉普拉斯算符为

del ^2=(cschv(coshv-cosu)^3)/(a^2)[partial/(partialu)((sinhv)/(coshv-cosu)partial/(partialu))+partial/(partialv)((sinhv)/(coshv-cosu)partial/(partialv))+partial/(partialphi)((cschv)/(coshv-cosu)partial/(partialphi))].
(11)

亥姆霍兹微分方程在环形坐标中不可分离，但拉普拉斯方程是可分离的。

另请参阅

双球坐标, 平环柱面坐标, 拉普拉斯方程——环形坐标

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参考文献

Arfken, G. “环形坐标 (xi, eta, phi)。” 《Mathematical Methods for Physicists, 2nd ed.》第 2.13 节。Orlando, FL: Academic Press, pp. 112-115, 1970。Byerly, W. E. 《An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics.》New York: Dover, p. 264, 1959。Moon, P. 和 Spencer, D. E. “环形坐标 (eta,theta,psi)。” 《Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed.》图 4.04。New York: Springer-Verlag, pp. 112-115, 1988。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 《Methods of Theoretical Physics, Part I.》New York: McGraw-Hill, p. 666, 1953。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

环形坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. “环形坐标。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ToroidalCoordinates.html

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