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扁球面坐标

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OblateSpheroidalCoords3D
OblateSpheroidalCoordinate

一种曲线坐标系，其中两组坐标曲面是通过将椭圆柱坐标的曲线绕 y-轴旋转而获得的，y-轴被重新标记为 z-轴。第三组坐标由穿过该轴的平面组成。

x=acoshxicosetacosphi
(1)
y=acoshxicosetasinphi
(2)
z=asinhxisineta,
(3)

其中 xi 在 [0,∞) 中, eta 在 [-π/2,π/2] 中, 和 phi 在 [0,2π) 中。Arfken (1970) 使用 (u,v,phi) 而不是 (xi,eta,phi)。 比例因子是

h_xi=asqrt(sinh^2xi+sin^2eta)
(4)
h_eta=asqrt(sinh^2xi+sin^2eta)
(5)
h_phi=acoshxicoseta.
(6)

拉普拉斯算符是

del ^2f=1/(a^3(sinh^2xi+sin^2eta)coshxicoseta)[(partialf)/(partialxi)(acoshxicoseta(partialf)/(partialxi))+(partialf)/(partialeta)(acoshxicoseta(partialf)/(partialeta))+(a^2(sinh^2xi+sin^2eta))/(acoshxicoseta)(partial^2f)/(partialphi^2)] =1/(a^3(sinh^2xi+sin^2eta)coshxicoseta)[asinhxicoseta(partialf)/(partialxi)+acoshxicoseta(partial^2f)/(partialxi^2)+asinhxicoseta(partialf)/(partialeta)+acoshxicoseta(partial^2f)/(partialeta^2)]+1/(a^2(sinh^2xi+sin^2eta))(partial^2f)/(partialphi^2) =1/(a^2(sinh^2xi+sin^2eta))[1/(coshxi)partial/(partialxi)(coshxi(partialf)/(partialxi))+1/(coseta)partial/(partialeta)(coseta(partialf)/(partialeta))]+1/(a^2(cosh^2xi+cos^2eta))(partial^2f)/(partialphi^2) =1/(sin^2eta+sinh^2xi)[(sech^2xitan^2eta+sec^2tanh^2xi)(partial^2)/(partialphi^2)+tanhxipartial/(partialxi)+(partial^2)/(partialxi^2)-tanetapartial/eta+(partial^2)/(eta^2)].
(7)

另一种形式对于“双中心”问题很有用，其定义为

xi_1=sinhxi
(8)
xi_1^'=coshxi
(9)
xi_2=coseta
(10)
xi_3=phi,
(11)

其中 xi_1 在 [1,∞] 中, xi_2 在 [-1,1] 中, 和 xi_3 在 [0,2π) 中。在这些坐标中，

y=axi_1^'xi_2sinxi_3
(12)
z=asqrt((xi_1^'^2-1)(1-xi_2^2))
(13)
x=axi_1^'xi_2cosxi_3
(14)

(Abramowitz 和 Stegun 1972)。比例因子是

h_(xi_1)=asqrt((xi_1^2-xi_2^2)/(xi_1^2-1))
(15)
h_(xi_2)=asqrt((xi_1^2-xi_2^2)/(1-xi_2^2))
(16)
h_(xi_3)=axieta,
(17)

并且拉普拉斯算符是

del ^2f=1/(a^2){1/(xi_1^2+xi_2^2)partial/(partialxi_1)[(xi_1^2+1)(partialf)/(partialxi_1)]+1/(xi_1^2+xi_2^2)partial/(partialxi_2)[(1-xi_2^2)(partialf)/(partialxi_2)]+1/((xi_1^2+1)(1-xi_2^2))(partial^2f)/(partialxi_3^2)}.
(18)

亥姆霍兹微分方程是可分离的。

另请参阅

亥姆霍兹微分方程--扁球面坐标, 纬度, 经度, 长球面坐标, 球坐标

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). "扁球面坐标的定义。" §21.2 在 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 752, 1972.Arfken, G. "长球面坐标 (u, v, phi)." §2.11 在 物理学家数学方法，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 107-109, 1970.Byerly, W. E. 傅里叶级数、球面、柱面和椭球面调和函数的初等论著，及其在数学物理问题中的应用。 New York: Dover, p. 242, 1959.Moon, P. 和 Spencer, D. E. "扁球面坐标 ((eta,theta,psi))." Table 1.07 在 场论手册，包括坐标系、微分方程及其解，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 31-34, 1988.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, p. 663, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

扁球面坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "扁球面坐标。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/OblateSpheroidalCoordinates.html

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