主题
Search

拉普拉斯算子

对于标量函数 phi，拉普拉斯算子是一个标量微分算子，定义为：

del ^2phi=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)((h_2h_3)/(h_1)partial/(partialu_1))+partial/(partialu_2)((h_1h_3)/(h_2)partial/(partialu_2))+partial/(partialu_3)((h_1h_2)/(h_3)partial/(partialu_3))]phi,
(1)

其中 h_i 是坐标系的尺度因子 (Weinberg 1972, p. 109; Arfken 1985, p. 92)。

请注意，算子 del ^2 通常被数学家写作 Delta (Krantz 1999, p. 16)。

拉普拉斯算子在力学、电磁学、波动理论和量子力学中极其重要，并出现在拉普拉斯方程中

del ^2phi=0,
(2)

亥姆霍兹微分方程

del ^2psi+k^2psi=0,
(3)

波动方程

del ^2psi=1/(v^2)(partial^2psi)/(partialt^2),
(4)

和薛定谔方程

ih(partialPsi(x,y,z,t))/(partialt)=[-(h^2)/(2m)del ^2+V(x)]Psi(x,y,z,t).
(5)

通过将三维推广到四维时空获得的类似算子表示为 square ^2，被称为达朗贝尔算符。拉普拉斯算子作用于向量函数的一个版本被称为向量拉普拉斯算子，张量拉普拉斯算子也可以类似地定义。拉普拉斯算子的平方 (del ^2)^2=del ^4 被称为双调和算子。

也可以定义向量拉普拉斯算子，以及它到张量拉普拉斯算子的推广。

下表给出了拉普拉斯算子在几种常见坐标系中的形式。

坐标系del ^2f
笛卡尔坐标系(partial^2f)/(partialx^2)+(partial^2f)/(partialy^2)+(partial^2f)/(partialz^2)
柱坐标系1/rpartial/(partialr)(r(partialf)/(partialr))+1/(r^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)+(partial^2f)/(partialz^2)
抛物线坐标系1/(uv(u^2+v^2))[partial/(partialu)(uv(partialf)/(partialu))+partial/(partialv)(uv(partialf)/(partialv))]+1/(u^2v^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)
抛物柱面坐标系1/(u^2+v^2)((partial^2f)/(partialu^2)+(partial^2f)/(partialv^2))+(partial^2f)/(partialz^2)
球坐标系1/(r^2)partial/(partialr)(r^2(partialf)/(partialr))+1/(r^2sin^2phi)(partial^2f)/(partialtheta^2)+1/(r^2sinphi)partial/(partialphi)(sinphi(partialf)/(partialphi))

有限差分形式为：

del ^2psi(x,y,z)=1/(h^2)[psi(x+h,y,z)+psi(x-h,y,z)+psi(x,y+h,z)+psi(x,y-h,z)+psi(x,y,z+h)+psi(x,y,z-h)-6psi(x,y,z)].
(6)

对于纯径向函数 g(r)，

del ^2g(r)=del ·[del g(r)]
(7)
=del ·[(partialg(r))/(partialr)r^^+1/r(partialg(r))/(partialtheta)theta^^+1/(rsintheta)(partialg(r))/(partialphi)phi^^]
(8)
=del ·(r^^(dg)/(dr)).
(9)

使用向量导数恒等式

del ·(fA)=f(del ·A)+(del f)·A,
(10)

因此

del ^2g(r)=del ·[del g(r)]
(11)
=(dg)/(dr)del ·r^^+del ((dg)/(dr))·r^^
(12)
=2/r(dg)/(dr)+(d^2g)/(dr^2).
(13)

因此，对于径向幂定律，

del ^2r^n=2/rnr^(n-1)+n(n-1)r^(n-2)
(14)
=[2n+n(n-1)]r^(n-2)
(15)
=n(n+1)r^(n-2).
(16)

拉普拉斯算子满足的恒等式是

del ^2||xA||=(||A||_(HS)^2-||(xA)A^(T)||^2)/(||xA||^3),
(17)

其中 ||A||_(HS) 是希尔伯特-施密特范数，x 是行向量，A^(T) 是 A 的转置。

为了计算反距离函数 1/r 的拉普拉斯算子，其中 r=|r-r^'|，并将拉普拉斯算子在一个体积上积分，

int_Vdel ^2(1/(|r-r^'|))d^3r.
(18)

这等于

int_Vdel ^21/rd^3r=int_Vdel ·(del 1/r)d^3r
(19)
=int_S(del 1/r)·da
(20)
=int_Spartial/(partialr)(1/r)r^^·da
(21)
=int_S-1/(r^2)r^^·da
(22)
=-4pi(R^2)/(r^2),
(23)

其中积分是在一个半径为 R 的小球体上进行的。现在，对于 r>0 和 R->0，积分变为 0。类似地，对于 r=R 和 R->0，积分变为 -4pi。因此，

del ^2(1/(|r-r^'|))=-4pidelta^3(r-r^'),
(24)

其中 delta(x) 是狄拉克δ函数。

另请参阅

拉普拉斯矩阵, 向量拉普拉斯算子, 张量拉普拉斯算子

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Moon, P. 和 Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1988.

另见

反拉普拉斯算子, 双调和算子, 达朗贝尔算符, 亥姆霍兹微分方程, 拉普拉斯方程, 薛定谔方程, 张量拉普拉斯算子, 向量拉普拉斯算子, 波动方程

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 16, 1999.Moon, P. 和 Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1988.Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, 1972.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉普拉斯算子

请引用为

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯算子。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Laplacian.html

主题分类