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圆锥坐标

ConicalCoordinates

圆锥坐标有几种不同的定义，由 Morse 和 Feshbach (1953)、Byerly (1959)、Arfken (1970) 以及 Moon 和 Spencer (1988) 定义。在 Wolfram 语言 中定义的 (lambda,mu,nu) 系统是

x=(lambdamunu)/(ab)
(1)
y=lambda/asqrt(((mu^2-a^2)(nu^2-a^2))/(a^2-b^2))
(2)
z=lambda/bsqrt(((mu^2-b^2)(nu^2-b^2))/(b^2-a^2)),
(3)

其中 b^2>mu^2>c^2>nu^2。Byerly (1959) 使用一个 (r,mu,nu) 系统，该系统与上述坐标系基本相同，但将 lambda 替换为 r，a 替换为 b，以及 b 替换为 c。Moon 和 Spencer (1988) 使用 (r,theta,lambda) 而不是 (lambda,mu,nu)。

上述方程给出

x^2+y^2+z^2=lambda^2
(4)
(x^2)/(mu^2)+(y^2)/(mu^2-a^2)+(z^2)/(mu^2-b^2)=0
(5)
(x^2)/(nu^2)+(y^2)/(nu^2-a^2)+(z^2)/(nu^2-b^2)=0.
(6)

比例因子是

h_lambda=1
(7)
h_mu=sqrt((lambda^2(mu^2-nu^2))/((mu^2-a^2)(b^2-mu^2)))
(8)
h_nu=sqrt((lambda^2(mu^2-nu^2))/((nu^2-a^2)(nu^2-b^2))).
(9)

拉普拉斯算符是

del ^2=(nu(2nu^2-a^2-b^2))/((mu-nu)(mu+nu)lambda^2)partial/(partialnu)+((a-nu)(a+nu)(nu-b)(nu+b))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialnu^2) +(mu(2mu^2-a^2-b^2))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)partial/(partialmu)+((mu-b)(mu+b)(mu-a)(mu+a))/((nu-mu)(nu+mu)lambda^2)(partial^2)/(partialmu^2)+2/lambdapartial/(partiallambda)+(partial^2)/(partiallambda^2).
(10)

亥姆霍兹微分方程在圆锥坐标中是可分离的。

另请参阅

亥姆霍兹微分方程--圆锥坐标

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. "圆锥坐标 (xi_1, xi_2, xi_3)." §2.16 in Mathematical Methods for Physicists, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-119, 1970.Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, p. 263, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. "圆锥坐标 (r,theta,lambda)." Table 1.09 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 37-40, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 659, 1953.Spence, R. D. "球锥坐标中的角动量。" Amer. J. Phys. 27, 329-335, 1959.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

圆锥坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆锥坐标。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConicalCoordinates.html

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