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五重积恒等式

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五重积恒等式，也称为沃森五重积恒等式，指出

product_(n=1)^infty(1-q^n)(1-zq^n)(1-z^(-1)q^(n-1))(1-z^2q^(2n-1))(1-z^(-2)q^(2n-1)) =sum_(m=-infty)^infty(z^(3m)-z^(-3m-1))q^(m(3m+1)/2).
(1)

它也可以写成

product_(n=1)^infty(1-q^(2n))(1-q^(2n-1)z)(1-q^(2n-1)z^(-1))(1-q^(4n-4)z^2)(1-q^(4n-4)z^(-2)) =sum_(n=-infty)^inftyq^(3n^2-2n)[(z^(3n)+z^(-3n))-(z^(3n-2)+z^(-(3n-2)))]
(2)

或

sum_(k=-infty)^infty(-1)^kq^((3k^2-k)/2)z^(3k)(1+zq^k) =product_(j=1)^infty(1-q^j)(1+z^(-1)q^j)(1+zq^(j-1))(1+z^(-2)q^(2j-1))(1+z^2q^(2j-1)).
(3)

五重积恒等式可以用 q-级数 表示法写成

sum_(k=-infty)^infty(-1)^kq^(k(3k-1)/2)z^(3k)(1+zq^k)=(1,-z,-q/z;q)_infty(qz^2,q/z^2;q^2)_infty,
(4)

其中 0<|q|<1 和 z!=0 (Gasper 和 Rahman 1990, 第 134 页；Leininger 和 Milne 1999)。

使用 符号 的 拉马努金 theta 函数 (Berndt 1985, 第 83 页)，

f(B^3q,q^5/B^3)-B^2f(q/B^3,B^3q^5) =f(-q^2)(f(-B^2,-q^2/B^2))/(f(Bq,q/B)).
(5)

参见

雅可比三重积恒等式, 拉马努金 Theta 函数, 七重积恒等式

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参考文献

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York:Springer-Verlag, 1985.Bhargava, S. "A Simple Proof of the Quintuple Product Identity." J. Indian Math. Soc. 61, 226-228, 1995.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 306-309, 1987.Carlitz, L. and Subbarao, M. V. "A Simple Proof of the Quintuple Product Identity." Proc. Amer. Math. Soc. 32, 42-44, 1972.Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Leininger, V. E. and Milne, S. C. "Some New Infinite Families of eta-Function Identities." Methods Appl. Anal. 6, 225-248, 1999b.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

五重积恒等式

引用为

Weisstein, Eric W. "五重积恒等式。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/QuintupleProductIdentity.html

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