拉马努金Theta函数

拉马努金双变量theta函数 定义为

(1)

对于 (Berndt 1985, p. 34; Berndt et al. 2000)。它满足

(2)

并且

			(3)
			(4)

(Berndt 1985, pp. 34-35; Berndt et al. 2000)，其中 是 q-Pochhammer 符号，即 q-级数。

的单参数形式也定义为

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			(6)
			(7)

(OEIS A010815; Berndt 1985, pp. 36-37; Berndt et al. 2000)，其中 是 q-Pochhammer 符号。 上述恒等式等价于五边形数定理。

该函数也满足

			(8)
			(9)

拉马努金 -函数 定义为

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A000122)，其中 是 Jacobi theta 函数 (Berndt 1985, pp. 36-37)。 是 的推广，两者通过以下方式联系：

(15)

的特殊值包括

			(16)
			(17)

其中 是 gamma 函数。

拉马努金 -函数 定义为

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			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

(OEIS A010054; Berndt 1985, p. 37)。

拉马努金 -函数 定义为

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			(25)
			(26)

(OEIS A000700; Berndt 1985, p. 37)。

另一种 函数有时定义为

(27)

其中 再次是 Jacobi theta 函数，它具有特殊值

(28)