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q-乘积

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将 nome 定义为

q=e^(-piK^'(k)/K(k))=e^(ipitau),
(1)

其中 K(k) 是 第一类完全椭圆积分，模数 为 k，K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)) 是互补的 第一类完全椭圆积分，且 tau 是 半周期比率。然后，Q-乘积（有时使用小写 q 而不是大写 Q 来书写）定义为

Q_0(q)=product_(n=1)^(infty)(1-q^(2n))
(2)
=(q^2;q^2)_infty
(3)
Q_1(q)=product_(n=1)^(infty)(1+q^(2n))
(4)
=1/2(-1;q^2)_infty
(5)
Q_2(q)=product_(n=1)^(infty)(1+q^(2n-1))
(6)
=q/(q+1)(-q^(-1);q^2)_infty
(7)
Q_3(q)=product_(n=1)^(infty)(1-q^(2n-1))
(8)
=q/(q-1)(q^(-1);q^2)_infty.
(9)

Zucker (1990) 将这些写为 w=Q_0、x=Q_1、y=Q_2 和 z=Q_3。

Q-乘积也满足以下恒等式

Q_0(q)Q_1(q)=Q_0(q^2)
(10)
Q_0(q)Q_3(q)=Q_0(q^(1/2))
(11)
Q_2(q)Q_3(q)=Q_3(q^2)
(12)
Q_1(q)Q_2(q)=Q_1(q^(1/2)).
(13)

另请参阅

Dedekind Eta 函数，q-Pochhammer 符号，q-级数恒等式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 55 和 63-85, 1987.Tannery, J. 和 Molk, J. Elements de la Théorie des Fonctions Elliptiques, 4 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1893-1902.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 469-473 和 488-489, 1990.Zucker, J. "Further Relations Amongst Infinite Series and Products. II. The Evaluation of Three-Dimensional Lattice Sums." J. Phys. A: Math. Gen. 23, 117-132, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

q-乘积

引用为

Weisstein, Eric W. "q-乘积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-Product.html

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