雅可比虚数变换

雅可比虚数变换将椭圆函数与同类型但具有不同自变量的其他椭圆函数相关联。对于雅可比椭圆函数 , , 和 , 这些变换是

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其中 是椭圆模量，而 是互补模量 (Abramowitz and Stegun 1972; Whittaker and Watson 1990, p. 505)。

对于雅可比 theta 函数，雅可比虚数变换给出

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其中

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并且 被解释为满足 (Whittaker and Watson 1990, p. 475)。

方程 (6) 可以写成泛函方程

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其中 和 是半周期比率 (Davenport 1980, p. 62)。这种形式对于计算小 的 非常有用，因为那时 的级数比 的级数收敛得更快。在 1859 年的论文中，黎曼在他的黎曼 zeta 函数泛函方程的证明之一中使用了 theta 函数的这个泛函方程 (Davenport 1980)。

这些变换最初由雅可比 (1828) 获得，但泊松 (1827) 先前获得了一个等效于四个公式之一的公式，并且从中另外三个公式可以从初等代数中得出 (Whittaker and Watson 1990, p. 475)。