主题
Search

Delta 函数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

Delta 函数是一个广义函数，可以定义为一类 delta 序列的极限。Delta 函数有时被称为“狄拉克 delta 函数”或“冲激符号” (Bracewell 1999)。它在 Wolfram 语言中被实现为DiracDelta[x]。

形式上， delta 是从一个检验函数空间（通常取为 Schwartz 空间 S 或所有紧支撑光滑函数空间 D）到标量域的线性泛函 f。 delta 在 f 上的作用，通常表示为 delta[f] 或 <delta,f>，然后给出任意函数 f 在 0 处的值。在工程背景下，delta 函数的泛函性质通常被忽略。

Delta 函数可以被视为 Heaviside 阶跃函数的导数，

d/(dx)[H(x)]=delta(x)
(1)

(Bracewell 1999, p. 94)。

Delta 函数具有以下基本性质：

int_(-infty)^inftyf(x)delta(x-a)dx=f(a)
(2)

并且，事实上，

int_(a-epsilon)^(a+epsilon)f(x)delta(x-a)dx=f(a)
(3)

对于 epsilon>0。

其他恒等式包括：

delta(x-a)=0
(4)

对于 x!=a，以及

delta(ax)=1/(|a|)delta(x)
(5)
delta(x^2-a^2)=1/(2|a|)[delta(x+a)+delta(x-a)]
(6)

更一般地，函数 x 的 delta 函数由下式给出：

delta[g(x)]=sum_(i)(delta(x-x_i))/(|g^'(x_i)|),
(7)

其中 x_i 是 g 的根。例如，考察

delta(x^2+x-2)=delta[(x-1)(x+2)].
(8)

那么 g^'(x)=2x+1，所以 g^'(x_1)=g^'(1)=3 且 g^'(x_2)=g^'(-2)=-3，得到

delta(x^2+x-2)=1/3delta(x-1)+1/3delta(x+2).
(9)

定义 delta 函数 delta(x) 的导数的基本方程是

intf(x)delta^((n))(x)dx=-int(partialf)/(partialx)delta^((n-1))(x)dx.
(10)

在此定义中令 f(x)=xg(x)，可得

intxg(x)delta^'(x)dx=-intdelta(x)partial/(partialx)[xg(x)]dx
(11)
=-intdelta(x)[g(x)+xg^'(x)]dx
(12)
=-intg(x)delta(x)dx,
(13)

其中第二项可以被忽略，因为 intxg^'(x)delta(x)dx=0，所以 (13) 式意味着

xdelta^'(x)=-delta(x).
(14)

一般来说，相同的步骤给出

int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nint(partial^n[x^nf(x)])/(partialx^n)delta(x)dx,
(15)

但是由于 x 的任何幂乘以 delta(x) 的积分都为 0，因此只有常数项有贡献。因此，所有乘以 f(x) 导数的项都消失，剩下 n!f(x)，所以

int[x^nf(x)]delta^((n))(x)dx=(-1)^nn!intf(x)delta(x)dx,
(16)

这意味着

x^ndelta^((n))(x)=(-1)^nn!delta(x).
(17)

其他涉及 delta 函数导数的恒等式包括

delta^'(-x)=-delta^'(x)
(18)
int_(-infty)^inftyf(x)delta^'(x-a)dx=-f^'(a)
(19)
(delta^'*f)(a)=int_(-infty)^inftydelta^'(a-x)f(x)dx=f^'(a)
(20)

其中 * 表示卷积，

int_(-infty)^infty|delta^'(x)|dx=infty,
(21)

和

x^2delta^'(x)=0.
(22)

一个涉及 delta(1/x) 的积分恒等式由下式给出

int_(-1)^1delta(1/x)dx=0.
(23)

Delta 函数也服从所谓的筛选性质

intf(x)delta(x-x_0)dx=f(x_0)
(24)

(Bracewell 1999, pp. 74-75)。

傅里叶级数 delta(x-a) 的展开式为

a_n=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)cos(nx)dx
(25)
=1/picos(na)
(26)
b_n=1/piint_(-pi)^pidelta(x-a)sin(nx)dx
(27)
=1/pisin(na),
(28)

因此

delta(x-a)=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)[cos(na)cos(nx)+sin(na)sin(nx)]
(29)
=1/(2pi)+1/pisum_(n=1)^(infty)cos[n(x-a)].
(30)

Delta 函数作为傅里叶变换给出为

delta(x)=F_k[1](x)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)dk.
(31)

类似地，

F_x^(-1)[delta(x)](k)=int_(-infty)^inftydelta(x)e^(2piikx)dx=1
(32)

(Bracewell 1999, p. 95)。更一般地，delta 函数的傅里叶变换为

F_x[delta(x-x_0)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)delta(x-x_0)dx=e^(-2piikx_0).
(33)
DeltaFunctionEpsilon

Delta 函数可以定义为以下 epsilon->0 时的极限，

delta(x)=1/pilim_(epsilon->0)epsilon/(x^2+epsilon^2),
(34)
=lim_(epsilon->0)1/2epsilon|x|^(epsilon-1)
(35)
=lim_(epsilon->0^+)1/(2sqrt(piepsilon))e^(-x^2/(4epsilon))
(36)
=lim_(epsilon->0)1/(pix)sin(x/epsilon)
(37)
=lim_(epsilon->0)1/epsilonAi(x/epsilon)
(38)
=lim_(epsilon->0)1/epsilonJ_(1/epsilon)((x+1)/epsilon)
(39)
=lim_(epsilon->0)|1/epsilone^(-x^2/epsilon)L_n((2x)/epsilon)|,
(40)

其中 Ai(x) 是艾里函数， J_n(x) 是第一类贝塞尔函数， L_n(x) 是任意正整数阶的拉盖尔多项式。

DeltaFunctionN

Delta 函数也可以通过 n->infty 时的极限来定义

delta(x)=lim_(n->infty)1/(2pi)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x)).
(41)

Delta 函数也可以在二维中定义，所以在二维笛卡尔坐标系中

delta^2(x,y)={0 x^2+y^2!=0; infty x^2+y^2=0,
(42)
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^2(x,y)dxdy=1
(43)
delta^2(ax,by)=1/(|ab|)delta^2(x,y),
(44)

和

delta^2(x,y)=delta(x)delta(y).
(45)

类似地，在极坐标系中，

delta^2(x,y)=(delta(r))/(pi|r|)
(46)

(Bracewell 1999, p. 85)。

在三维笛卡尔坐标系中

delta^3(x,y,z)=delta^3(x)={0 x^2+y^2+z^2!=0; infty x^2+y^2+z^2=0
(47)
int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftydelta^3(x,y,z)dxdydz=1
(48)

和

delta^3(x,y,z)=delta(x)delta(y)delta(z).
(49)

在柱坐标系 (r,theta,z) 中，

delta^3(r,theta,z)=(delta(r)delta(z))/(pir).
(50)

在球坐标系 (r,theta,phi) 中，

delta^3(r,theta,phi)=(delta(r))/(2pir^2)
(51)

(Bracewell 1999, p. 85)。

柱坐标系中的级数展开式为

delta^3(r_1-r_2)=1/(r_1)delta(r_1-r_2)delta(theta_1-theta_2)delta(z_1-z_2)
(52)
=1/(r_1)delta(r_1-r_2)1/(2pi)sum_(m=-infty)^(infty)e^(im(theta_1-theta_2))1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(ik(z_1-z_2))dk.
(53)

一些常微分方程的解可以用 delta(x) 的导数表示 (Kanwal 1998)。例如，微分方程

x(1-x)y^('')+(4-6x)y^'-6y=0
(54)

具有经典解

y(x)=(C_1)/(x^3)+(x^2-x-1+2(x-2)ln(x-1))/(x^3(x-1))C_2,
(55)

和分布解

y(x)=C_1delta^('')(x)
(56)

（M. Trott，私人通讯，2006 年 1 月 19 日）。请注意，与经典解不同，n 阶 ODE 的分布解不必包含 n 个独立常数。

另请参阅

Delta 序列, 双峰函数, 傅里叶变换--Delta 函数, 广义函数, 冲激符号, Poincaré-Bertrand 定理, Shah 函数, Sokhotsky 公式 在 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/, http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta2/

使用 探索

参考文献

Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.Bracewell, R. "冲激符号." Ch. 5 in 傅里叶变换及其应用，第 3 版 New York: McGraw-Hill, pp. 74-104, 2000.Dirac, P. A. M. 量子力学，第 4 版 London: Oxford University Press, 1958.Gasiorowicz, S. 量子物理学。 New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.Kanwal, R. P. "常微分方程的应用." Ch. 6 in 广义函数，理论与技术，第 2 版 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.Papoulis, A. 概率、随机变量和随机过程，第 2 版 New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.Spanier, J. and Oldham, K. B. "狄拉克 Delta 函数 delta(x-a)." Ch. 10 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.van der Pol, B. and Bremmer, H. 基于双边拉普拉斯积分的运算微积分。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.

在 中被引用

Delta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “Delta 函数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DeltaFunction.html

主题分类