多倍角公式 -- 来自 Wolfram MathWorld

对于为正整数，形如以下形式的表达式 , , 和可以仅使用欧拉公式和二项式定理用和表示。

对于 ,

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

前几个值由下式给出

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

其他相关公式包括

			(11)
			(12)

其中是向下取整函数。

对于的乘积公式由下式给出

(13)

函数也可以表示为的多项式（对于为奇数）或乘以的多项式，如下所示

$sin(nx)={(-1)^((n-1)/2)T_n(sinx) for n odd; (-1)^(n/2-1)cosxU_(n-1)(sinx) for n even,$

(14)

其中是第一类切比雪夫多项式，是第二类切比雪夫多项式。前几个例子是

			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

类似地，可以表示为乘以的多项式，如下所示

(19)

前几个例子是

			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

Bromwich (1991) 给出了公式

$sin(na)={nx-(n(n^2-1^2)x^3)/(3!)+(n(n^2-1^2)(n^2-3^2)x^5)/(5!)-... for n odd; ncosa[x-((n^2-2^2)x^3)/(3!)+((n^2-2^2)(n^2-4^2)x^5)/(5!)-...] for n even,$

(24)

其中。

对于，多倍角公式可以推导为

			(25)
			(26)
			(27)
			(28)
			(29)
			(30)

前几个值是

			(31)
			(32)
			(33)
			(34)

其他相关公式包括

			(35)
			(36)
			(37)

函数也可以表示为的多项式（对于为偶数）或乘以的多项式，如下所示

$cos(nx)={(-1)^((n-1)/2)cosxU_(n-1)(sinx) for n odd; (-1)^(n/2)T_n(sinx) for n even.$

(38)

前几个例子是

			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

类似地，可以表示为的多项式，如下所示

(43)

前几个例子是

			(44)
			(45)
			(46)
			(47)

Bromwich (1991) 给出了公式

$cos(na)={cosa[1-((n^2-1^2)x^2)/(2!)+((n^2-1^2)(n^2-3^2)x^4)/(4!)-...] n odd; 1-(n^2x^2)/(2!)+(n^2(n^2-2^2)x^4)/(4!)-... n even,$

(48)

其中。

前几个的多倍角公式为

			(49)
			(50)
			(51)

由 Beyer (1987, p. 139) 给出，最高可达。

多倍角公式也可以使用递推关系编写

			(52)
			(53)
			(54)

多倍角公式

参见

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参考文献

在 Wolfram|Alpha 上被引用

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