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Dottie 数


CosineFixedPoint

Dottie 数是 Kaplan (2007) 给出的名称,指的是方程 cosx=x 的唯一实根(即 余弦 函数的唯一实 不动点),其值为 0.739085... (OEIS A003957)。 “Dottie” 这个名称没有根本的数学意义,因为它指的是一位法国教授,她(无疑像许多其他在她之前和之后的计算器用户一样)注意到,每当她在计算器中输入一个数字并反复按下余弦按钮时,结果总是收敛到这个值。

这个数字是众所周知的,早在 1880 年代后期就已经出现在许多关于代数的初级著作中(例如,Bertrand 1865, p. 285; Heis 1886, p. 468; Briot 1881, pp. 341-343),并且可能更早。它也被简称为余弦常数、余弦叠加常数、迭代余弦常数或余弦不动点常数。 Arakelian (1981, pp. 135-136; 1995) 使用亚美尼亚小写字母 ayb(亚美尼亚字母表中的第一个字母)来表示这个常数。

这个根是一个简单的非平凡的普遍吸引 不动点 的例子。根据 林德曼-魏尔斯特拉斯定理,它也是超越数。

它可以以闭合形式给出为

 r=sqrt(1-(2I_(1/2)^(-1)(1/2,3/2)-1)^2),
(1)

其中 I_z^(-1)(a,b)正则化贝塔函数反函数

Dottie 数 r 给出了 几乎是整数

 r((160)/pi)^(1/13) approx 0.9999996766
(2)

(L. A. Broukhis, 私人通信)。以及

 e^(e^(pi/3)-Gamma(r)) approx 5.000000017
(3)

(K. Hammond, 私人通信)。


另请参阅

余弦, 不动点

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arakelian, H. The Fundamental Dimensionless Values (Their Role and Importance for the Methodology of Science). [俄语]. Yerevan, Armenia: Armenian National Academy of Sciences, 1981.Arakelian, H. "The New Fundamental Constant of Mathematics." Pan-Arm. Sci. Rev., London 3, 18-21, 1995.Baker, A. Theorem 1.4 in Transcendental Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1975.Bertrand, J. Exercise III in Traité d'algèbre, Vols. 1-2, 4th ed. Paris, France: Librairie de L. Hachette et Cie, p. 285, 1865.Briot, C. M. Leons d'algèbre conformes aux programmes officiels de l'enseignement des lycées, 11th ed. Paris, France: Librairie Ch. Delagrave, pp. 341-343, 1881.Gaidash, T. "Why Dottie=...." Feb. 23, 2022. https://math.stackexchange.com/questions/4389528/why-dottie-2-sqrti-1-frac12-frac-12-frac-32-i-1-frac12-frac-12-fr.Heis, E. Schlüssel zur Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra, Volume 2, 3rd ed. Cologne, Germany: Verlag der M. DuMont-Schauberg'schen Buchhandlung, p. 468, 1886.Kaplan, S. R. "The Dottie Number." Math. Mag. 80, 73-74, 2007.Miller, T. H. "On the Numerical Values of the Roots of the Equation cosx=x." Proc. Edinburgh Math. Soc. 9, 80-83, 1890.Miller, T. H. "On the Imaginary Roots of cosx=x." Proc. Edinburgh Math. Soc. 21, 160-162, 1902.Salov, V. "Inevitable Dottie Number. Iterals of Cosine and Sine." 1 Dec 2012. https://arxiv.org/abs/1212.1027.Sloane, N. J. A. Sequence A003957 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stoutemyer, D. R. "Inverse Spherical Bessel Functions Generalize Lambert W and Solve Similar Equations Containing Trigonometric or Hyperbolic Subexpressions or Their Inverses." https://arxiv.org/abs/2207.00707. 2 Jul 2022.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Dottie 数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Dottie 数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DottieNumber.html

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