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格拉汉姆的最大最小六边形

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GrahamsBiggestLittleHexagon

格拉汉姆的最大最小六边形是直径为 1 的最大可能（不一定是正）凸六边形（即，其中没有两个顶点之间的距离大于单位距离）。因此，它是 n=6 情况下的最大最小多边形。解由上图给出（在 Conway 和 Guy 1996 年，第 207 页中以不正确的比例显示），其中红线均为单位长度的对角线。

GrahamsBiggestLittleHexagonArea

为了找到六边形，按照上面所示设置坐标，然后多边形面积公式给出

A=1/2b+x(1+d-b).
(1)

代入并结合

1=b^2+x^2
(2)
1=(x+1/2)^2+d^2
(3)

并消除 b 和 d ，然后给出 A 的公式为

A(x)=1/2[sqrt(1-x^2)+x(2-2sqrt(1-x^2)+sqrt(3-4x(1+x)))].
(4)

此函数绘制在上方。

最大化得到六边形的面积，它是以下方程的第二大实根

4096A^(10)+8192A^9-3008A^8-30848A^7+21056A^6+146496A^5 -221360A^4+1232A^3+144464A^2-78488A+11993=0,
(5)

近似为 A=0.674981... (OEIS A111969)。请注意，A^9 的符号为正，而不是像 Conway 和 Guy (1996) 中错误给出的负号。另请将其与直径为 1（因此外接圆半径为 1/2）的正六边形的面积进行比较，后者由下式给出

A^'=3/8sqrt(3)=0.649519...,
(6)

因此，最优解大 3.9%。

对应于最大解的 x 和 b 的值由下式给出

x=(8192x^(10)+16384x^9-19968x^8-44032x^7+18176x^6+38528x^5-8192x^4-12672x^3+2520x^2+1440x-351)_5
(7)
=0.343771453...
(8)
b=(8192b^(10)-4096b^9-3584b^8+2048b^7-14080b^6+1920b^5+13568b^4+128b^3-3160b^2-720b-135)_5
(9)
=0.939053346...
(10)

(OEIS A111970 和 A111971)。

另请参阅

最大最小多边形, 卡拉比三角形, 六边形

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参考文献

Audet, C.; Hansen, P.; Messine, F.; 和 Xiong, J. “最大的小八边形。” J. Combin. Th. Ser. A 98, 46-59, 2002.Audet, C.; Hansen, P.; Messine, F.; 和 Perron, S. “具有单位长度边的最小直径八边形：Vincze 妻子的八边形是次优的。” J. Combin. Th. Ser. A 108, 63-75, 2004.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. “格拉汉姆的最大最小六边形。” 收录于 数字之书。 纽约: Springer-Verlag, pp. 206-207, 1996.Graham, R. L. “最大的小六边形。” J. Combin. Th. Ser. A 18, 165-170, 1975.Klein, A. 和 Wessler, M. “最大的小多面体。” 2002年12月19日. http://arxiv.org/abs/math.CO/0212262.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A111969, A111970, 和 A111971.Trott, M. 符号学的 Mathematica 指南。 纽约: Springer-Verlag, pp. 46-47, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

请引用为

Weisstein, Eric W. “格拉汉姆的最大最小六边形。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GrahamsBiggestLittleHexagon.html

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