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硬六边形熵常数

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考虑一个 n×n (0, 1) 矩阵，例如

[a_(11) a_(23) ; a_(22) a_(34); a_(21) a_(33) ; a_(32) a_(44); a_(31) a_(43) ; a_(42) a_(54); a_(41) a_(53) ; a_(52) a_(64)]
(1)

对于 n=4。如果两个元素 a_(ij) 位于位置 (i,j) 和 (i+1,j)，(i,j) 和 (i,j+1)，或 (i,j) 和 (i+1,j+1) 对于某些 i,j，则称它们是相邻的。称 G(n) 为没有相邻 1 的此类数组的数量。等效地，G(n) 是 国王问题 在具有正六边形单元的 n×n 棋盘 上的互不攻击的 国王 的配置数量。

对于 n=1, 2, ...，G(n) 的前几个值是 2, 6, 43, 557, 14432, ... (OEIS A066863)。

硬方格六边形常数由此给出

kappa_h=lim_(n->infty)[G(n)]^(1/n^2)
(2)
=1.395485972...
(3)

(OEIS A085851)。

令人惊讶的是，kappa_h 是 代数的，并由下式给出

kappa_h=kappa_1kappa_2kappa_3kappa_4,
(4)

其中

kappa_1=4^(-1)3^(5/4)11^(-5/12)c^(-2)
(5)
kappa_2=[1-sqrt(1-c)+sqrt(2+c+2sqrt(1+c+c^2))]^2
(6)
kappa_3=[-1-sqrt(1-c)+sqrt(2+c+2sqrt(1+c+c^2))]^2
(7)
kappa_4=[sqrt(1-a)+sqrt(2+a+2sqrt(1+a+a^2))]^(-1/2)
(8)
a=-(124)/(363)11^(1/3)
(9)
b=(2501)/(11979)33^(1/2)
(10)
c={1/4+3/8a[(b+1)^(1/3)-(b-1)^(1/3)]}^(1/3).
(11)

(Baxter 1980, Joyce 1988ab)。

变量 c 可以用 tribonacci 常数 表示

t=(x^3-x^2-x-1)_1,
(12)

其中 (P(x))_n 是一个 多项式根，如下所示

c=[1/4-(31(13t+81))/(242(32t+7))]^(1/3)
(13)
=[1/4-(31(32t^2-39t-19))/(2662)]^(1/3)
(14)
=(10307264x^9-7730448x^6+3839236x^3-161051)_1
(15)

(T. Piezas III, 私人通信, 2 月 11 日, 2006 年)。

显式地，kappa 是唯一的正根

kappa_h=(25937424601z^(24)+2013290651222784z^(22)+2505062311720673792z^(20)+797726698866658379776z^(18)+7449488310131083100160z^(16)+2958015038376958230528z^(14)-72405670285649161617408z^(12)+107155448150443388043264z^(10)-71220809441400405884928z^8-73347491183630103871488z^6+97143135277377575190528z^4-32751691810479015985152)_2,
(16)

其中 (P(x))_n 表示多项式 P(x) 的第 n 个根，其顺序与 Wolfram Language 的排序相同。

另请参阅

硬方格熵常数, 国王问题, tribonacci 常数

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参考文献

Baxter, R. J. "Hard Hexagons: Exact Solution." J. Physics A 13, 1023-1030, 1980.Baxter, R. J. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. New York: Academic Press, 1982.Finch, S. R. "Hard Square Entropy Constant." §5.12 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 342-349, 2003.Joyce, G. S. "On the Hard Hexagon Model and the Theory of Modular Functions." Phil. Trans. Royal Soc. London A 325, 643-702, 1988a.Joyce, G. S. "Exact Results for the Activity and Isothermal Compressibility of the Hard-Hexagon Model." J. Phys. A: Math. Gen. 21, L983-L988, 1988b.Katzenelson, J. and Kurshan, R. P. "S/R: A Language for Specifying Protocols and Other Coordinating Processes." In Proc. IEEE Conf. Comput. Comm., pp. 286-292, 1986.Sloane, N. J. A. 序列 A066863 和 A085851，收录于 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

硬六边形熵常数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "硬六边形熵常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HardHexagonEntropyConstant.html

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