代数数最小多项式

代数数 的最小多项式是唯一不可约的首一多项式，具有最小的次数 ，其有理系数使得 ，并且其首项系数为 1。最小多项式可以使用以下方法计算MinimalPolynomial[zeta, var] 在 Wolfram 语言 包中AlgebraicNumberFields` .

例如， 的最小多项式是 。一般来说， 的最小多项式，其中 且 是素数，是 ，根据 艾森斯坦判别法，它是不可约的。每个本原 次单位根的最小多项式是 分圆多项式 。例如， 是以下项的最小多项式

一般来说，两个代数数如果是复共轭的，则它们具有相同的最小多项式。

考虑 扩域 作为有理数 域 上的有限维 向量空间，则乘以 会在 上诱导一个 线性变换 。矩阵最小多项式 ，作为一个线性变换，与 作为代数数的最小多项式相同。

最小多项式可以整除任何其他具有有理系数 的多项式，使得 。由此可见，在所有具有此属性的多项式 中，它的次数是最小的。它的次数等于扩域 在 上的次数。