二十面体方程

有许多代数方程被称为二十面体方程，它们都源于二十面体的射影几何。考虑一个以 为中心的二十面体，其轴沿五重()旋转对称轴定向，并且顶部五个边之一位于平面内（左图）。在此图中，顶点显示为黑色，面中心显示为红色，边中点显示为蓝色。

最简单的二十面体方程是通过使用球极投影将具有单位外接圆半径的二十面体的顶点从其外接球的南极投影到平面上定义的，并将这些顶点位置（在复平面中解释为复数）表示为代数方程的根。得到的投影如上左图所示，其中黑点是顶点的位置。得到的方程是

(1)

其中此处指的是复平面中的坐标（不是投影面上方的高度），并且方程的阶数为11而不是12，因为处的顶点被变换为无穷远，并且已被省略。以对称形式写出以上方程，得到

(2)

如果改为投影具有单位内切圆半径的二十面体（上图中的第二个图），则表示面中心位置（红点）的方程由下式给出

(3)

或者以对称形式表示，

(4)

最后，如果投影具有单位中半径的二十面体（上图中的右图），则表示边中点位置（蓝点）的方程由下式给出

(5)

或者以对称形式表示，

(6)

请注意，由于这些方程涉及变量的 5 次幂的倍数，将实体旋转弧度会转换量从 到 ，从而在的奇数次幂中产生相同的模负号的方程，这对应于将根的位置围绕虚轴翻转。

组合 和 得出一个通常被称为“二十面体方程”的一般方程：

(7)

Hunt（1996）考虑了一个由下式给出的“非齐次化”的二十面体方程：

(8)

如果二十面体以使顶部和底部面平行于平面定向，则给出其投影顶点的相应方程为

(9)