亚循环群

亚循环群有两个定义。

1. 亚循环群是一个 群 ，使得它的换位子群 和商群 都是 循环群 (Rose 1994, p. 247)。

2. 群 是亚循环群，如果它有一个 循环 正规子群 ，使得商群 也是循环群 (Rose 1994, p. 56)。

一般来说，一个群可能根据第二个定义是亚循环群，但不满足第一个定义。例如，四元群 有一个 4 阶正规循环子群，因此它满足定义 (2)。另一方面，换位子 由两个元素 组成，商群 同构于 有限群 C2×C2，因此该群不是循环群。

第一个定义更经典，但现在基本上所有代数学家都使用第二个定义，这也是本文余下部分使用的定义。

亚循环群是可解群，并且有一个长度为 2 的合成列。

Hempel (2000) 给出了有限亚循环群的完整分类。亚循环群都由两个元素生成，这两个元素受制于三个关系，这三个关系取决于几个数值参数。作为一个特例，考虑由两个元素 和 生成的群，使得

其中 。对于 和 ，这是二面体群 的定义，其中 是绕中心旋转 的角度， 是正 边形的对称轴的反射。

二面体群 是亚循环群，亚循环群的每个子群和每个商群也是亚循环群 (Rose 1994, p. 56)。

如果一个群的 Sylow p-子群 都是循环群，则该群始终是亚循环群 (Scott 1987, p. 356; Rose 1994, pp. 246-247)。特别地，由此得出每个无平方因子阶群都是亚循环群。