互质

如果两个整数除了 1 之外没有共同的正因子（除数），则它们是互质的。使用符号表示最大公约数，如果，则两个整数和是互质的。互质整数有时也称为陌生数或互素，并表示为。上面的图绘制了和沿两个轴，如果则将正方形涂成黑色，否则涂成白色（左图），并简单地根据着色（右图）。

可以使用 Wolfram 语言测试两个数字是否互质，方法是CoprimeQ[m, n].

两个不同的素数和总是互质的，，不同的素数和的任何正整数幂也是互质的，。

互质性不是传递的。例如，且，但。

随机选取的两个整数和互质的概率是

(1)

（OEIS A059956；Cesàro 和 Sylvester 1883；Lehmer 1900；Sylvester 1909；Nymann 1972；Wells 1986, p. 28；Borwein 和 Bailey 2003, p. 139；Havil 2003, pp. 40 和 65；Moree 2005），其中是黎曼 zeta 函数。这个结果与最大公约数和，，可以解释为在平面上位于连接向量和的直线线上的格点数（不包括本身）。实际上，是从原点可见的格点的分数（Castellanos 1988, pp. 155-156）。

给定三个随机选择的整数，它们没有公因子的概率是

(2)

（OEIS A088453；Wells 1986, p. 29），其中是 Apéry 常数（Wells 1986, p. 29）。一般来说，个随机数缺少次幂公因子的概率是 (Cohen 1959, Salamin 1972, Nymann 1975, Schoenfeld 1976, Porubský 1981, Chidambaraswamy 和 Sitaramachandra Rao 1987, Hafner et al. 1993)。

有趣的是，两个高斯整数和互质的概率是

(3)

（OEIS A088454），其中是卡塔兰常数（Pegg；Collins 和 Johnson 1989；Finch 2003, p. 601）。

类似地，两个随机艾森斯坦整数互质的概率是

(4)

（OEIS A088467），其中

(5)

（Finch 2003, p. 601），可以解析地写成

			(6)
			(7)

（OEIS A086724），其中是三伽玛函数

令人惊讶的是，随机整数对和高斯整数对互质的概率与这些类型的无平方数的渐近密度相同。

另请参阅

除数, 最大公约数, Hafner-Sarnak-McCurley 常数, 无平方数, 可见点在 MathWorld 课堂中探索此主题

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更多尝试

参考文献

Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Castellanos, D. "无处不在的 Pi。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Chidambaraswamy, J. 和 Sitaramachandra Rao, R. "关于 M 多项式的值具有给定 G.C.D. 的概率。" J. Number Th. 26, 237-245, 1987.Cohen, E. "与任意整数集相关的算术函数。" Acta Arith. 5, 407-415, 1959.Collins, G. E. 和 Johnson, J. R. "高斯整数互质的概率。" Proc. 1988 Internat. Sympos. Symbolic and Algebraic Computation (ISAAC), Rome (Ed. P. Gianni). New York: Springer-Verlag, pp. 252-258, 1989.Finch, S. R. 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Guy, R. K. 数论中未解决的问题，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 3-4, 1994.Hafner, J. L.; Sarnak, P.; 和 McCurley, K. "多项式的互质值。" In 向 Emil Grosswald 致敬：数论和相关分析 (Ed. M. Knopp 和 M. Seingorn). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.Havil, J. 伽玛：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Hoffman, P. 爱数字的人：保罗·埃尔德什和对数学真理的探索的故事。 New York: Hyperion, pp. 38-39, 1998.Lehmer, D. N. "某些总和的渐近评估。" Amer. J. Math. 22, 293-355, 1900.Moree, P. "计算无忧情侣。" 2005 年 9 月 30 日。 http://arxiv.org/abs/math.NT/0510003.Nagell, T. "互质数。欧拉

-函数。" §8 in 数论导论。 New York: Wiley, pp. 23-26, 1951.Nymann, J. E. "关于

个正整数互质的概率。" J. Number Th. 4, 469-473, 1972.Nymann, J. E. "关于

个正整数互质的概率。 II." J. Number Th. 7, 406-412, 1975.Pegg, E. Jr. "被忽视的高斯整数。" http://www.mathpuzzle.com/Gaussians.html.Porubský, S. "关于 K 个广义整数是相对 H-素数的概率。" Colloq. Math. 45, 91-99, 1981.Salamin, E. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的第 53 项 HAKMEM。 Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 22, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item53.Schoenfeld, L. "Chebyshev 函数

和

, II 的更清晰的界限。" Math. Comput. 30, 337-360, 1976.Sloane, N. J. A. 序列 A059956, A086724, A088453, A088454, 和 A088467 在 "整数序列在线百科全书" 中。Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, pp. 28-29, 1986.

在 Wolfram|Alpha 上引用

互质

请引用为

Eric W. Weisstein。 “互质”。来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RelativelyPrime.html