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丢番图方程——二次幂

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一个关于两个变量 x 和 y 的一般二次丢番图方程由下式给出

ax^2+cy^2=k,
(1)

其中 a、 c 和 k 是指定的（正或负）整数，而 x 和 y 是满足方程的未知整数，我们需要求出它们的值。稍微更一般的二阶方程

ax^2+bxy+cy^2=k
(2)

是高斯《算术研究》中的主要主题之一。根据伊藤 (1987) 的说法，方程 (2) 可以使用 佩尔方程 的解来完全求解。特别地，所有

ax^2+bxy+cy^2=1
(3)

的解都包含在 ax^2+bx+c 的根的 连分数 的 收敛项 中。

通用二元二次丢番图方程的解在 Wolfram 语言 中实现为化简 (Reduce)[eqn &&Element[x|y,Integers], {x, y}].

对于超过两个变量的二次丢番图方程，C. L. Siegel 给出了更深入的结果。

一个 形式为 的方程

x^2-Dy^2=1,
(4)

其中 D 是一个 整数，这是一个非常特殊的方程类型，称为 佩尔方程。佩尔方程以及右侧带有负号的类似方程，可以通过找到 sqrt(D) 的 连分数 来求解。更复杂的方程

x^2-Dy^2=c
(5)

对于 c 和 D 的某些值也可以求解，但过程更加复杂 (Chrystal 1961)。然而，如果已知方程 (5) 的一个解，则可以使用 佩尔方程 的标准技术找到其他解。

下表总结了给定形式的素数 p 的可能表示形式，其中 x 和 y 是正整数。除了指出的那些奇素数外，没有其他奇素数具有这些性质 (Nagell 1951, p. 188)。

形式p 的同余式
x^2+y^2=1 (mod 4)
x^2+2y^2=1,3 (mod 8)
x^2+3y^2=1 (mod 6)
x^2+7y^2=1,9,11 (mod 14)
2x^2+3y^2=5,11 (mod 24)

作为 华林问题 研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 4 个正平方数的和 (g(2)=4; 拉格朗日四平方定理)，每个“足够大”的整数都是不超过 4 个正平方数的和 (G(2)=4)，并且每个整数都是至多 3 个带符号平方数的和 (eg(2)=3)。如果将零算作平方数，则包括 正 数和 负 数，并且区分两个平方数的顺序，雅可比表明，一个数可以写成两个平方数之和的方式的数量（r_2(n) 函数）是 除数 形式 4x+1 的数量与 除数 形式 4x-1 的数量之差的四倍。

给定方程的初始解 (x,y,z)=(m,n,p)

ax^2+bxy+cy^2=dz^2,
(6)

可以使用以下恒等式找到二次参数化

(ax^2+bxy+cy^2-dz^2) =(am^2+bmn+cn^2-dp^2)(au^2+buv+cv^2)^2,
(7)

其中

x=(am+bn)u^2+2cnuv-cmv^2
(8)
y=-anu^2+2amuv+(bm+cn)v^2
(9)
z=p(au^2+buv+cv^2)
(10)

对于任意 u,v (T. Piezas, 私人通信，2006 年 4 月 28 日)。

1769 年，欧拉 (Euler) (1862) 注意到恒等式

alphab(apr+/-betaqs)^2+abeta(alphaps∓bqr)^2=(aalphap^2+bbetaq^2)(abr^2+alphabetas^2),
(11)

这给出了方程的参数解

Ax^2+By^2=C
(12)

对于整数 A,B,C,x,y，其中 C 是合数 (Dickson 2005, p. 407)。

将由求 m 个 k 次 幂 之和等于 n 个 k 次 幂 之和的丢番图方程称为“k.m.n 方程”。2.1.2 二次丢番图方程

A^2=B^2+C^2,
(13)

对应于找到一个 勾股三元组 (A、 B、 C)，它有一个众所周知的通解 (Dickson 2005, pp. 165-170)。为了解这个方程，请注意，每个 素数 形式 4x+1 都可以用 唯一 的方式表示为两个 互质 平方数的和。满足 2.1.3 方程的一组 整数

A^2=B^2+C^2+D^2
(14)

称为 勾股四元组。

2.2.2 方程的参数解

A^2+B^2=C^2+D^2
(15)

是已知的 (Dickson 2005; Guy 1994, p. 140)。解的数量由 平方和函数 r_2(n) 给出。

一个 形式为 的方程的解

(A^2+B^2)(C^2+D^2)=E^2+F^2
(16)

由 斐波那契恒等式 给出

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+/-bd)^2+(bc∓ad)^2=e^2+f^2.
(17)

另一个类似的恒等式是 欧拉四平方恒等式

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)(c_1^2+c_2^2)(d_1^2+d_2^2)=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2
(18)
(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)^2+(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2+(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)^2+(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)^2.
(19)

德根八平方恒等式 适用于八个平方数，但不适用于其他数字，正如凯莱证明的那样。二平方恒等式是 三角学 的基础，四平方恒等式是 四元数 的一些基础，而八平方恒等式是 凯莱代数（一种非交换非结合代数；Bell 1945）的基础。

陈树文发现了 2.6.6 方程

87^2+233^2+264^2+396^2+496^2+540^2=90^2+206^2+309^2+366^2+522^2+523^2.
(20)

拉马努金平方方程

2^n-7=x^2
(21)

已被证明只有解 n=3、4、5、7 和 15 (Schroeppel 1972; OEIS A060728)。在一个未发表的证明中，欧拉表明二次丢番图方程

2^n=7x^2+y^2
(22)

对于每个正数 n>=3 都有唯一解，其中 x 和 y 都是奇数且为正数 (Engel 1998, p. 126)。令人惊讶的是，这些可以解析地表示为

x=(2^(n/2))/(sqrt(7))|sin[ntan^(-1)(sqrt(7))]|
(23)
y=2^(n/2)|cos[ntan^(-1)(sqrt(7))]|,
(24)

这与 二次域 Q(sqrt(-7)) 中整数环元素的范数有关，该二次域表现出唯一分解性 (Hickerson 2002)。对于 n=1、2、3、... 的前几个解 (x,y) 是 (1, 1)、(1, 3)、(1, 5)、(3, 1)、(1, 11)、(5, 9)、(7, 13)、(3, 31)、... (OEIS A077020 和 A077021)。

另请参阅

代数学, 炮弹问题, 连分数, 丢番图方程, 欧拉四平方恒等式, 亏格定理, 希尔伯特符号, 拉格朗日数, 勒贝格恒等式, 佩尔方程, 勾股四元组, 勾股三元组, 二次剩余, 拉马努金平方方程, 平方数, 平方和函数, 华林问题

使用 探索

参考文献

Beiler, A. H. "The Pellian." Ch. 22 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, pp. 248-268, 1966.Bell, E. T. The Development of Mathematics, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 159, 1945.Chrystal, G. Textbook of Algebra, 2 vols. New York: Chelsea, 1961.Degan, C. F. Canon Pellianus. Copenhagen, Denmark, 1817.Dickson, L. E. "Number of Representations as a Sum of 5, 6, 7, or 8 Squares." Ch. 13 in Studies in the Theory of Numbers. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930.Dickson, L. E. "Pell Equation; ax^2+bx+c Made a Square" and "Further Single Equations of the Second Degree." Chs. 12-13 in History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 341-434, 2005.Engel, A. Problem-Solving Strategies. New York: Springer-Verlag, 1998.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.Hickerson, D. "Re: Diophantine sequence" seqfan@ext.jussieu.fr mailing list. 17 Oct 2002.Itô, K. (Ed.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, p. 450, 1987.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Nagell, T. "Diophantine Equations of the Second Degree." Ch. 6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 188-226, 1951.Rajwade, A. R. Squares. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1993.Scharlau, W. Quadratic and Hermitian Forms. Berlin: Springer-Verlag, 1985.Schroeppel, R. Item 31 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 14, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item31.Shapiro, D. B. "Products of Sums and Squares." Expo. Math. 2, 235-261, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A060728, A077020, and A077021 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smarandache, F. "Un metodo de resolucion de la ecuacion diofantica." Gaz. Math. 1, 151-157, 1988.Smarandache, F. "Method to Solve the Diophantine Equation ax^2-by^2+c=0." In Collected Papers, Vol. 1. Bucharest, Romania: Tempus, 1996.Taussky, O. "Sums of Squares." Amer. Math. Monthly 77, 805-830, 1970.Whitford, E. E. The Pell Equation. New York: Columbia University Press, 1912.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--2nd Powers." 来自 --一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DiophantineEquation2ndPowers.html

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