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丢番图方程——二次幂

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一个关于两个变量 x 和 y 的一般二次丢番图方程由下式给出

ax^2+cy^2=k,
(1)

其中 a、 c 和 k 是指定的（正或负）整数，而 x 和 y 是满足方程的未知整数，我们需要求出它们的值。稍微更一般的二阶方程

ax^2+bxy+cy^2=k
(2)

是高斯《算术研究》中的主要主题之一。根据伊藤 (1987) 的说法，方程 (2) 可以使用 佩尔方程 的解来完全求解。特别地，所有

ax^2+bxy+cy^2=1
(3)

的解都包含在 ax^2+bx+c 的根的 连分数 的 收敛项 中。

通用二元二次丢番图方程的解在 Wolfram 语言 中实现为化简 (Reduce)[eqn &&Element[x|y,Integers], {x, y}].

对于超过两个变量的二次丢番图方程，C. L. Siegel 给出了更深入的结果。

一个 形式为 的方程

x^2-Dy^2=1,
(4)

其中 D 是一个 整数，这是一个非常特殊的方程类型，称为 佩尔方程。佩尔方程以及右侧带有负号的类似方程，可以通过找到 sqrt(D) 的 连分数 来求解。更复杂的方程

x^2-Dy^2=c
(5)

对于 c 和 D 的某些值也可以求解，但过程更加复杂 (Chrystal 1961)。然而，如果已知方程 (5) 的一个解，则可以使用 佩尔方程 的标准技术找到其他解。

下表总结了给定形式的素数 p 的可能表示形式，其中 x 和 y 是正整数。除了指出的那些奇素数外，没有其他奇素数具有这些性质 (Nagell 1951, p. 188)。

形式p 的同余式
x^2+y^2=1 (mod 4)
x^2+2y^2=1,3 (mod 8)
x^2+3y^2=1 (mod 6)
x^2+7y^2=1,9,11 (mod 14)
2x^2+3y^2=5,11 (mod 24)

作为 华林问题 研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 4 个正平方数的和 (g(2)=4; 拉格朗日四平方定理)，每个“足够大”的整数都是不超过 4 个正平方数的和 (G(2)=4)，并且每个整数都是至多 3 个带符号平方数的和 (eg(2)=3)。如果将零算作平方数，则包括 正 数和 负 数，并且区分两个平方数的顺序，雅可比表明，一个数可以写成两个平方数之和的方式的数量（r_2(n) 函数）是 除数 形式 4x+1 的数量与 除数 形式 4x-1 的数量之差的四倍。

给定方程的初始解 (x,y,z)=(m,n,p)

ax^2+bxy+cy^2=dz^2,
(6)

可以使用以下恒等式找到二次参数化

(ax^2+bxy+cy^2-dz^2) =(am^2+bmn+cn^2-dp^2)(au^2+buv+cv^2)^2,
(7)

其中

x=(am+bn)u^2+2cnuv-cmv^2
(8)
y=-anu^2+2amuv+(bm+cn)v^2
(9)
z=p(au^2+buv+cv^2)
(10)

对于任意 u,v (T. Piezas, 私人通信，2006 年 4 月 28 日)。

1769 年，欧拉 (Euler) (1862) 注意到恒等式

alphab(apr+/-betaqs)^2+abeta(alphaps∓bqr)^2=(aalphap^2+bbetaq^2)(abr^2+alphabetas^2),
(11)

这给出了方程的参数解

Ax^2+By^2=C
(12)

对于整数 A,B,C,x,y，其中 C 是合数 (Dickson 2005, p. 407)。

将由求 m 个 k 次 幂 之和等于 n 个 k 次 幂 之和的丢番图方程称为“k.m.n 方程”。2.1.2 二次丢番图方程

A^2=B^2+C^2,
(13)

对应于找到一个 勾股三元组 (A、 B、 C)，它有一个众所周知的通解 (Dickson 2005, pp. 165-170)。为了解这个方程，请注意，每个 素数 形式 4x+1 都可以用 唯一 的方式表示为两个 互质 平方数的和。满足 2.1.3 方程的一组 整数

A^2=B^2+C^2+D^2
(14)

称为 勾股四元组。

2.2.2 方程的参数解

A^2+B^2=C^2+D^2
(15)

是已知的 (Dickson 2005; Guy 1994, p. 140)。解的数量由 平方和函数 r_2(n) 给出。

一个 形式为 的方程的解

(A^2+B^2)(C^2+D^2)=E^2+F^2
(16)

由 斐波那契恒等式 给出

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+/-bd)^2+(bc∓ad)^2=e^2+f^2.
(17)

另一个类似的恒等式是 欧拉四平方恒等式

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)(c_1^2+c_2^2)(d_1^2+d_2^2)=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2
(18)
(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)^2+(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2+(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)^2+(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)^2.
(19)

德根八平方恒等式 适用于八个平方数，但不适用于其他数字，正如凯莱证明的那样。二平方恒等式是 三角学 的基础，四平方恒等式是 四元数 的一些基础，而八平方恒等式是 凯莱代数（一种非交换非结合代数；Bell 1945）的基础。

陈树文发现了 2.6.6 方程

87^2+233^2+264^2+396^2+496^2+540^2=90^2+206^2+309^2+366^2+522^2+523^2.
(20)

拉马努金平方方程

2^n-7=x^2
(21)

已被证明只有解 n=3、4、5、7 和 15 (Schroeppel 1972; OEIS A060728)。在一个未发表的证明中，欧拉表明二次丢番图方程

2^n=7x^2+y^2
(22)

对于每个正数 n>=3 都有唯一解，其中 x 和 y 都是奇数且为正数 (Engel 1998, p. 126)。令人惊讶的是，这些可以解析地表示为

x=(2^(n/2))/(sqrt(7))|sin[ntan^(-1)(sqrt(7))]|
(23)
y=2^(n/2)|cos[ntan^(-1)(sqrt(7))]|,
(24)

这与 二次域 Q(sqrt(-7)) 中整数环元素的范数有关，该二次域表现出唯一分解性 (Hickerson 2002)。对于 n=1、2、3、... 的前几个解 (x,y) 是 (1, 1)、(1, 3)、(1, 5)、(3, 1)、(1, 11)、(5, 9)、(7, 13)、(3, 31)、... (OEIS A077020 和 A077021)。

另请参阅

代数学, 炮弹问题, 连分数, 丢番图方程, 欧拉四平方恒等式, 亏格定理, 希尔伯特符号, 拉格朗日数, 勒贝格恒等式, 佩尔方程, 勾股四元组, 勾股三元组, 二次剩余, 拉马努金平方方程, 平方数, 平方和函数, 华林问题

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参考文献

Beiler, A. H. "The Pellian." Ch. 22 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, pp. 248-268, 1966.Bell, E. T. The Development of Mathematics, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 159, 1945.Chrystal, G. Textbook of Algebra, 2 vols. New York: Chelsea, 1961.Degan, C. F. Canon Pellianus. Copenhagen, Denmark, 1817.Dickson, L. E. "Number of Representations as a Sum of 5, 6, 7, or 8 Squares." Ch. 13 in Studies in the Theory of Numbers. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930.Dickson, L. E. "Pell Equation; ax^2+bx+c Made a Square" and "Further Single Equations of the Second Degree." Chs. 12-13 in History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 341-434, 2005.Engel, A. Problem-Solving Strategies. New York: Springer-Verlag, 1998.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.Hickerson, D. "Re: Diophantine sequence" [email protected] mailing list. 17 Oct 2002.Itô, K. (Ed.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, p. 450, 1987.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Nagell, T. "Diophantine Equations of the Second Degree." Ch. 6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 188-226, 1951.Rajwade, A. R. Squares. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1993.Scharlau, W. Quadratic and Hermitian Forms. Berlin: Springer-Verlag, 1985.Schroeppel, R. Item 31 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 14, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item31.Shapiro, D. B. "Products of Sums and Squares." Expo. Math. 2, 235-261, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A060728, A077020, and A077021 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smarandache, F. "Un metodo de resolucion de la ecuacion diofantica." Gaz. Math. 1, 151-157, 1988.Smarandache, F. "Method to Solve the Diophantine Equation ax^2-by^2+c=0." In Collected Papers, Vol. 1. Bucharest, Romania: Tempus, 1996.Taussky, O. "Sums of Squares." Amer. Math. Monthly 77, 805-830, 1970.Whitford, E. E. The Pell Equation. New York: Columbia University Press, 1912.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--2nd Powers." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DiophantineEquation2ndPowers.html

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