双勾股数 -- 来自 Wolfram MathWorld

双勾股数是指勾股数其中有两个值是连续整数。根据定义，双勾股数因此是本原勾股数。在斜边小于 100 的 16 个本原勾股数中，有 7 个是双勾股数。前几个双勾股数，按递增排序，是 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15, 112, 113), ....

斜边小于 10, , , ... 的双勾股数的数量分别是 1, 7, 24, 74, ... (OEIS A101903)。

前几个股-股双勾股数是 (3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), (696, 697, 985), ... (OEIS A001652, A046090, 和 A001653)。对于第个这样的数对，存在闭合形式。考虑一般的简化解 , 那么要求两条股是连续整数为

(1)

重新排列得到

(2)

定义

			(3)
			(4)

那么得到 Pell 方程

(5)

Pell 方程的解由下式给出

			(6)
			(7)

因此，股和以及斜边的长度为

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)

将最短股的长度表示为，则得到

			(17)
			(18)

(Beiler 1966, pp. 124-125 和 256-257)，这不能被精确求解以给出作为的函数。

然而，可以通过注意到分母中的第二项是一个小数的次方，因此可以忽略不计，从而找到小于给定值的股-股双勾股数的近似数量，剩下

(19)

(20)

求解得到

			(21)
			(22)
			(23)

前几个股-斜边双勾股数是 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), ... (OEIS A005408, A046092, 和 A001844)。当满足以下条件时，会出现股-斜边双勾股数

(24)

(25)

也就是说，当时，斜边比偶数股大 1，并且双勾股数由给出。因此，斜边的股-斜边双勾股数的数量由下式给出

(26)

其中是向下取整函数。前几个值是 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, ... (OEIS A095861)。小于 10, , ... 的股-斜边双勾股数的数量分别是 1, 6, 21, 70, 223, 706, 101904, ... (OEIS A101904)。