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赫罗尼安三角形

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赫罗尼安三角形是指三角形，其有理边长和有理面积。这些三角形之所以如此命名，是因为它们与海伦公式有关

Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
(1)

海伦公式给出了三角形面积 Delta，用其边长 a、 b、 c 和半周长 s=(a+b+c)/2 表示。因此，找到赫罗尼安三角形等价于求解丢番图方程

Delta^2=s(s-a)(s-b)(s-c).
(2)

整数赫罗尼安三角形（三个边长和面积可以乘以它们的最小公倍数，使其全部成为整数）的完整解集由欧拉发现 (Buchholz 1992; Dickson 2005, p. 193)，参数化版本由婆罗摩笈多和卡迈克尔 (1952) 给出，如下所示

a=n(m^2+k^2)
(3)
b=m(n^2+k^2)
(4)
c=(m+n)(mn-k^2)
(5)
s=mn(m+n)
(6)
Delta=kmn(m+n)(mn-k^2).
(7)

对于任何整数 m、 n 和 k，这会产生每个赫罗尼安三角形相似类的一个成员，条件是 GCD(m,n,k)=1、 mn>k^2>=m^2n/(2m+n) 和 m>=n>=1 (Buchholz 1992)。

HeronianTriangles

前几个整数赫罗尼安三角形按最大边长递增排序为 ((3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16), ... (OEIS A055594, A055593, and A055592), 面积为 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, ... (OEIS A055595)。前几个整数赫罗尼安不等边三角形，按最大边长递增排序为 (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (9, 10, 17), ... (OEIS A046128, A046129, and A046130), 面积为 6, 24, 30, 54, 24, 84, 36, ... (OEIS A046131)。R. Rathbun 编录了所有周长小于 2^(17) 的整数赫罗尼安三角形 (Peterson 2003)。

Schubert (1905) 声称不存在具有两条有理数三角形中线的赫罗尼安三角形 (Dickson 2005)。Buchholz 和 Rathbun (1997) 证明这是不正确的，他们发现了下表给出的三角形，其中 m_i 是三角形中线长度，A 是面积。

abcm_1m_2A
735126(35)/2(97)/2420
626875291572(433)/255440
4368124136731657(7975)/22042040
147911438411257(21177)/21100175698280
287791381615155(3589)/22193723931600
18236751856291930456(2048523)/2(3751059)/2142334216640
HeronianRightIsosceles

D. Borris（私人通讯，2003 年 10 月 22 日）考虑了赫罗尼安三角形的本原对，其中一个是边长为 (a,b,c) 的直角三角形，另一个是边长为 (x,y,y) 的等腰三角形，使得这两个三角形共享相同的面积和周长。Borris 发现了对 (a,b,c)=(135,352,377) 和 (x,y,y)=(132,366,366) （对应于面积 23760 和周长 864），并且没有发现其他右三角形最小边长小于 400000 的此类对。

参见

海伦公式, 赫罗尼安四面体, 整数三角形, 完全立方体, 勾股数组, 有理三角形, 三角形, 三角形中线

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参考文献

Buchholz, R. H. On Triangles with Rational Altitudes, Angle Bisectors or Medians. Doctoral Dissertation. Newcastle, Australia: Newcastle University, 1989.Buchholz, R. H. "Perfect Pyramids." Bull. Austral. Math. Soc. 45, 353-368, 1992.Buchholz, R. H. and Rathbun, R. L. "An Infinite Set of Heron Triangles with Two Rational Medians." Amer. Math. Monthly 104, 107-115, 1997.Carmichael, R. D. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. New York: Dover, 1952.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 199 and 208, 2005.Fleenor, C. R. "Heronian Triangles with Consecutive Integer Sides." J. Recr. Math. 28, 113-115, 1996-96.Guy, R. K. "Simplexes with Rational Contents." §D22 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 190-192, 1994.Kraitchik, M. "Heronian Triangles." §4.13 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 104-108, 1942.Macleod, A. J. "On Integer Relations Between the Area and Perimeter of Heron Triangles." Forum Geom. 9, 41-46, 2009. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200904index.html.Peterson, I. "MathTrek: Perfect Pyramids." July 26, 2003. http://www.sciencenews.org/20030726/mathtrek.asp.Rabinowitz, S. "Problem 2006: Heronian Properties." J. Recr. Math. 24, 309, 1992.Sastry, K. R. S. "Heron Triangles: A Gergonne-Cevian-and-Median Perspective." Forum Geometricorum 1, 17-24, 2001. http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200104index.html.Schubert, H. "Die Ganzzahligkeit in der algebraischen Geometrie." In Festgabe 48 Versammlung d. Philologen und Schulmänner zu Hamburg. Leipzig, Germany, pp. 1-16, 1905.Sloane, N. J. A. Sequences A046128, A046129, A046130, A046131, A055592, A055593, A055594, and A055595 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Somos, M. "Heronian Triangle Table." http://grail.csuohio.edu/~somos/tritab.html.Wells, D. G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Puzzles. London: Penguin Books, p. 34, 1992.Yiu, P. "Construction of Indecomposable Heronian Triangles." Rocky Mountain J. Math. 28, 1189-1202, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

赫罗尼安三角形

引用为

Weisstein, Eric W. "赫罗尼安三角形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HeronianTriangle.html

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