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伴随勒让德微分方程

伴随勒让德微分方程是 勒让德微分方程 的推广，由下式给出

d/(dx)[(1-x^2)(dy)/(dx)]+[l(l+1)-(m^2)/(1-x^2)]y=0,
(1)

可以写成

(1-x^2)(d^2y)/(dx^2)-2x(dy)/(dx)+[l(l+1)-(m^2)/(1-x^2)]y=0
(2)

（Abramowitz 和 Stegun 1972；Zwillinger 1997，第 124 页）。方程的解 P_l^m(x) 称为 伴随勒让德多项式（如果 l 是整数），或第一类伴随勒让德函数（如果 l 不是整数）。完整解是

y=C_1P_l^m(x)+C_2Q_l^m(x),
(3)

其中 Q_l^m(x) 是 第二类勒让德函数。

伴随勒让德微分方程通常写成通过设置 x=costheta 获得的形式。将恒等式

(dy)/(dx)=(dy)/(d(costheta))
(4)
=-1/(sintheta)(dy)/(dtheta)
(5)
(d^2y)/(dx^2)=1/(sintheta)d/(dtheta)(1/(sintheta)(dy)/(dtheta))
(6)
=1/(sin^2theta)((d^2y)/(dtheta^2)-(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta))
(7)

代入 (◇) 然后得到

((d^2y)/(dtheta^2)-(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta))+2(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta)+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2theta)]y=0
(8)
(d^2y)/(dtheta^2)+(costheta)/(sintheta)(dy)/(dtheta)+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2theta)]y=0.
(9)

参见

伴随勒让德多项式, 勒让德微分方程, 第二类勒让德函数

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约：Dover，第 332 页，1972 年。Moon, P. 和 Spencer, D. E. 工程师场论。 纽约：Van Nostrand，1961 年。Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 波士顿，马萨诸塞州：Academic Press，1997 年。

请引用本文为

Weisstein, Eric W. “伴随勒让德微分方程。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AssociatedLegendreDifferentialEquation.html

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