球谐函数

球谐函数 是 拉普拉斯方程 在 球坐标系 中当不存在方位角对称性时的解的角度部分。在识别所使用的符号约定方面必须谨慎。在本条目中， 被视为极（余纬）坐标，其中 ，而 被视为方位角（经度）坐标，其中 。这是物理学中常用的约定，正如 Arfken (1985) 和 Wolfram 语言 所描述的那样（在数学文献中， 通常表示经度坐标，而 表示余纬坐标）。球谐函数在 Wolfram 语言 中实现为SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi].

球谐函数满足 球谐微分方程，该方程由 拉普拉斯方程 在 球坐标系 中的角度部分给出。在这个方程中写入 得到

(1)

乘以 得到

(2)

使用 分离变量法，通过将 相关部分等同于常数，得到

(3)

其解为

(4)

将 (3) 代入 (2) 得到 相关部分的方程，其解为

(5)

其中 , , ..., 0, ..., , 且 是一个 缔合勒让德多项式。然后通过组合 和 定义球谐函数，

(6)

其中选择归一化使得

(7)

（Arfken 1985, p. 681）。这里， 表示 复共轭，而 是 克罗内克 delta。有时（例如，Arfken 1985），Condon-Shortley 相位 被预先添加到球谐函数的定义中。

球谐函数有时会分为它们的 实部 和 虚部，

(8)

(9)

球谐函数服从

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其中 是 勒让德多项式。

球谐函数的积分由下式给出

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其中 是一个 维格纳 3j 符号（它与 克莱布施-戈尔丹系数 相关）。特殊情况包括

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（Arfken 1985, p. 700）。

以上图示显示了 （顶部），（左下），和 （右下）。前几个球谐函数是

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用 笛卡尔坐标系 表示，

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因此

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带谐函数 被定义为 形式为

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扇谐函数 是 形式为

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对于 。节谐函数 是 形式为

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