关联勒让德多项式

关联勒让德多项式 和 推广了 勒让德多项式 ，并且是 关联勒让德微分方程 的解，其中 是一个 正整数，且 , ..., 。它们在 Wolfram 语言 中以如下方式实现：LegendreP[l, m, x]。对于正 ，它们可以用非关联多项式表示为：

			(1)
			(2)

其中 是非关联勒让德多项式。负 的关联勒让德多项式则定义为：

(3)

对于关联勒让德多项式，有两种符号约定。一些作者（例如，Arfken 1985，第 668-669 页）省略了 Condon-Shortley 相位 ，而另一些作者则包含它（例如，Abramowitz 和 Stegun 1972，Press et al. 1992，以及LegendrePWolfram 语言中的 [l, m, z] 命令）。因此，在比较从不同来源获得的多项式时需要谨慎。区分这两种约定的一种可能方法是 Abramowitz 和 Stegun (1972, 第 332 页) 提出的，他们使用了符号：

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来区分两者。

关联多项式有时被称为 Ferrers 函数（Sansone 1991，第 246 页）。如果 ，它们简化为非关联 多项式。关联勒让德函数是 球谐函数 的一部分，球谐函数是 拉普拉斯方程 在 球坐标系 中的解。它们在 上关于权重函数 1 正交

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并且在 上关于权重函数 也 正交。

(6)

关联勒让德多项式也服从以下 递推关系：

(7)

令 （在此上下文中通常表示为 ），

(8)

(9)

其他恒等式包括：

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(11)

包括因子 ，前几个关联勒让德多项式为：

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)

用 （通常写作 ）表示时，前几个变为：

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)
			(33)
			(34)
			(35)
			(36)
			(37)

原点附近的导数为：

(38)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 334 页），对数导数为：

(39)

（Binney 和 Tremaine 1987，第 654 页）。