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狄利克雷 L-级数

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狄利克雷 L-级数是形如如下形式的级数

L_k(s,chi)=sum_(n=1)^inftychi_k(n)n^(-s),
(1)

其中数论特征 chi_k(n) 是一个周期为 k 的 整数函数，被称为狄利克雷 L-级数。这些级数在加法数论中非常重要（例如，它们被用于证明狄利克雷定理），并且与模形式有密切的联系。狄利克雷 L-级数可以写成 Lerch 超越函数的和，其中 z 是 e^(2pii/k) 的幂。

狄利克雷 L-级数在 Wolfram 语言中实现为DirichletL[k, j, s] 表示模为 k，指标为 j 的狄利克雷特征 chi(n)。

广义黎曼猜想推测，黎曼 zeta 函数和任何狄利克雷 L-级数都没有实部大于 1/2 的零点。

狄利克雷 lambda 函数

lambda(s)=sum_(n=0)^(infty)1/((2n+1)^s)
(2)
=(1-2^(-s))zeta(s),
(3)

狄利克雷 beta 函数

L_(-4)(s)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n)/((2n+1)^s),
(4)
=beta(s)
(5)

和 黎曼 zeta 函数

L_(+1)(s)=zeta(s)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)
(7)

都是狄利克雷 L-级数 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 289)。

Hecke (1936) 发现了每个具有傅里叶级数的模形式与

f(tau)=c(0)+sum_(n=1)^inftyc(n)e^(2piintau)
(8)

狄利克雷 L-级数之间的显著联系

phi(s)=sum_(n=1)^infty(c(n))/(n^s)
(9)

这个狄利克雷级数在 sigma=R[s]>k+1 时绝对收敛（如果 f 是尖点形式），在 sigma>2k 时收敛（如果 f 不是尖点形式）。特别地，如果系数 c(n) 满足乘法性质

c(m)c(n)=sum_(d|(m,n))d^(2k-1)c((mn)/(d^2)),
(10)

那么狄利克雷 L-级数将具有如下形式的表示

phi(s)=product_(p)1/(1-c(p)p^(-s)+p^(2k-1)p^(-2s)),
(11)

它与狄利克雷级数绝对收敛 (Apostol 1997, pp. 136-137)。此外，设 k>=4 为偶数整数，则 phi(s) 可以解析延拓到直线 sigma=k 之外，使得

1. 如果 c(0)=0，则 phi(s) 是 s 的整函数，

2. 如果 c(0)!=0，则 phi(s) 对所有 s 解析，除了在 s=k 处有一个简单极点，其复残数为

((-1)^(k/2)c(0)(2pi)^k)/(Gamma(k)),
(12)

其中 Gamma(k) 是伽玛函数，并且

3. phi(s) 满足

(2pi)^(-s)Gamma(s)phi(s)=(-1)^(k/2)(2pi)^(s-k)Gamma(k-s)phi(k-s)
(13)

(Apostol 1997, p. 137)。

数论特征 chi_k 被称为本原的，如果 j-导子 f(chi)=k。否则，chi_k 是非本原的。本原 L-级数模 k 被定义为 chi_k(n) 是本原的级数。所有非本原 L-级数都可以用本原 L-级数表示。

设 P=1 或 P=product_(i=1)^(t)p_i，其中 p_i 是不同的奇素数。那么有三种可能的具有实系数的本原 L-级数类型。实系数的要求将数论特征限制为对于所有 k 和 n，chi_k(n)=+/-1。这三种类型是：

1. 如果 k=P（例如，k=1, 3, 5, ...）或 k=4P（例如，k=4, 12, 20, ...），则恰好存在一个本原 L-级数。

2. 如果 k=8P（例如，k=8, 24, ...），则存在两个本原 L-级数。

3. 如果 k=2P,Pp_i，或 2^alphaP 其中 alpha>3（例如，k=2, 6, 9, ...），则不存在本原 L-级数。

(Zucker 和 Robertson 1976)。所有本原 L-级数都是代数独立的，并且根据以下条件分为两种类型：

chi_k(k-1)=+/-1.
(14)

这些类型的本原 L-级数表示为 L_+/-。对于具有实数论特征的本原 L-级数，如果 k=P，则

L_k={L_(-k) if P=3 (mod 4); L_k if P=1 (mod 4).
(15)

如果 k=4P，则

L_k={L_(-k) if P=1 (mod 4); L_k if P=3 (mod 4),
(16)

并且如果 k=8P，则每种类型都存在一个本原函数 (Zucker 和 Robertson 1976)。

前几个本原负 L-级数是 L_(-3), L_(-4), L_(-7), L_(-8), L_(-11), L_(-15), L_(-19), L_(-20), L_(-23), L_(-24), L_(-31), L_(-35), L_(-39), L_(-40), L_(-43), L_(-47), L_(-51), L_(-52), L_(-55), L_(-56), L_(-59), L_(-67), L_(-68), L_(-71), L_(-79), L_(-83), L_(-84), L_(-87), L_(-88), L_(-91), L_(-95), ... (OEIS A003657)，对应于虚二次域判别式的负值。前几个本原正 L-级数是 L_(+1), L_(+5), L_(+8), L_(+12), L_(+13), L_(+17), L_(+21), L_(+24), L_(+28), L_(+29), L_(+33), L_(+37), L_(+40), L_(+41), L_(+44), L_(+53), L_(+56), L_(+57), L_(+60), L_(+61), L_(+65), L_(+69), L_(+73), L_(+76), L_(+77), L_(+85), L_(+88), L_(+89), L_(+92), L_(+93), L_(+97), ... (OEIS A003658)。

克罗内克符号 (d/n) 是模 d 的实数论特征，并且实际上是模 d 的唯一类型的实本原数论特征 (Ayoub 1963)。因此，

L_d(s)=sum_(n=1)^infty(d/n)n^(-s)
(17)

其中 (d/n) 是克罗内克符号 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 293)。

对于 d 的本原值，克罗内克符号以 |d| 为周期，因此 L_d(s) 可以写成 |d|-1 个和的形式，每个和都可以用多伽玛函数 psi_n(z) 表示，得到

L_d(s)=1/((-|d|)^s(s-1)!)sum_(n=1)^(|d|-1)(d/n)psi_(s-1)(n/(|d|)).
(18)

L_+/- 的函数方程为

L_(-d)(s)=2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)cos(1/2spi)L_(-d)(1-s)
(19)
L_(+d)(s)=2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)sin(1/2spi)L_(+d)(1-s)
(20)

(Borwein 和 Borwein 1986, p. 303)。

对于正整数 m

L_(+d)(-2m)=0
(21)
L_(-d)(1-2m)=0
(22)
L_(+d)(2m)=Rk^(-1/2)pi^(2m)
(23)
L_(-d)(2m-1)=R^'k^(-1/2)pi^(2m-1)
(24)
L_(+d)(1-2m)=((-1)^m(2m-1)!R)/((2k)^(2m-1))
(25)
L_(-d)(-2k)=((-1)^mR^'(2m)!)/((2k)^(2m)),
(26)

其中 R 和 R^' 是有理数。关于 L_(-d)(2m) 或 L_(+d)(2m-1) 似乎没有什么普遍已知的结果，尽管有可能用已知的超越数表示所有 L_+/-(1) (Zucker 和 Robertson 1976)。

L_(+d)(1) 可以用超越数表示为

L_d(1)=h(d)kappa(d),
(27)

其中 h(d) 是类数，kappa(d) 是狄利克雷结构常数。

关于用已知超越数表示 L_(-d)(2m) 和 L_(+d)(2m-1) 还没有已知的通用形式。Edwards (2000) 给出了 L_d(1) 的几个特殊情况的例子。一些本原级数 L_d(1) 由下式给出

L_(-20)(1)=pi/(sqrt(5))
(28)
L_(-15)(1)=(2pi)/(sqrt(15))
(29)
L_(-11)(1)=pi/(sqrt(11))
(30)
L_(-8)(1)=pi/(2sqrt(2))
(31)
L_(-7)(1)=pi/(sqrt(7))
(32)
L_(-4)(1)=1/4pi
(33)
L_(-3)(1)=1/9pisqrt(3)
(34)
L_(+5)(1)=2/5sqrt(5)lnphi
(35)
L_(+8)(1)=(ln(1+sqrt(2)))/(sqrt(2))
(36)
L_(+12)(1)=(ln(2+sqrt(3)))/(sqrt(3))
(37)
L_(+13)(1)=2/(sqrt(13))ln((3+sqrt(13))/2)
(38)
L_(+17)(1)=2/(sqrt(17))ln(4+sqrt(17))
(39)
L_(+21)(1)=2/(sqrt(21))ln((5+sqrt(21))/2)
(40)
L_(+24)(1)=(ln(5+2sqrt(6)))/(sqrt(6)),
(41)

而对于 L_k(2) 由下式给出

L_(-8)(2)=1/(64)[psi_1(1/8)+psi_1(3/8)-psi_1(5/8)-psi_1(7/8)]
(42)
L_(-7)(2)=1/(49)[psi_1(1/7)+psi_1(2/7)-psi_1(3/7)+psi_1(4/7)
(43)
L_(-4)(2)=K
(44)
L_(-3)(2)=1/9[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]
(45)
L_(+1)(2)=1/6pi^2
(46)
L_(+5)(2)=4/(125)pi^2sqrt(5)
(47)
L_(+8)(2)=1/(16)pi^2sqrt(2)
(48)
L_(+12)(2)=1/(18)pi^2sqrt(3)
(49)
L_(+13)(2)=(4pi^2)/(13sqrt(13))
(50)
L_(+17)(2)=(8pi^2)/(17sqrt(17))
(51)
L_(+21)(2)=(8pi^2)/(21sqrt(21)),
(52)

其中 K 是卡塔兰常数，psi_1(z) 是三伽玛函数，Li_2(z) 是双对数函数。

Bailey 和 Borwein (Bailey 和 Borwein 2005; Bailey 等人 2006a, pp. 5 和 62; Bailey 等人 2006b; Bailey 和 Borwein 2008; Coffey 2008) 推测了这个关系，实际上 Zagier (1986) 在大约二十年前就已证明 (M. Coffey, 私人通信, 3月 30日, 2009)，即 L_(-7)(2) 也由下式给出

I_7=(24)/(7sqrt(7))int_(pi/3)^(pi/2)ln|(tanx+sqrt(7))/(tanx-sqrt(7))|dx
(53)
=-4/(7sqrt(7)){9ln2cot^(-1)sqrt(7)+(pi-6cot^(-1)sqrt(7))×ln(sqrt(7)-sqrt(3))-piln(sqrt(3)+sqrt(7))+3i[Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)-i))-Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)+i))-Li_2((sqrt(7)-i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))+Li_2((sqrt(7)+i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))]}
(54)
=(24)/(7sqrt(7)){Cl_2(theta_+)+1/2[Cl_2(2omega_+)-Cl_2(2omega_++2theta_+)]}
(55)
=4/(7sqrt(7))[3Cl_2(theta_7)-3Cl_2(2theta_7)+Cl_2(3theta_7)]
(56)
=1.1519254705...
(57)

其中后者的表达式归功于 Coffey (2008ab)，其中

omega_+=tan^(-1)(sqrt(7))-(2pi)/3
(58)
omega_-=-omega_+
(59)
=tan^(-1)((2sqrt(3)-sqrt(7))/5)
(60)
theta_+=tan^(-1)(1/3sqrt(7))
(61)
theta_7=2tan^(-1)(sqrt(7)).
(62)

另请参阅

狄利克雷 Beta 函数, 狄利克雷 Eta 函数, 狄利克雷级数, 双重级数, 广义黎曼猜想, Hecke L-级数, 模形式, 彼得松猜想

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参考文献

Apostol, T. M. 解析数论导论。 New York: Springer-Verlag, 1976.Apostol, T. M. "模形式与狄利克雷级数" 和 "普通狄利克雷级数的等价性。" §6.16 和 §8.8 in 数论中的模函数与狄利克雷级数，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 136-137 和 174-176, 1997.Ayoub, R. G. 解析数论导论。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "实验数学：例子、方法与意义。" Not. Amer. Math. Soc. 52, 502-514, 2005.Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "计算机辅助发现与证明。" In 实验数学的论文集 (Ed. T. Amdeberhan and V. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 222, 2006a. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "实验数学中的十个问题。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi 与 AGM：解析数论与计算复杂性研究。 New York: Wiley, 1987.Buell, D. A. "二次域的 L 函数的小类数和极值。" Math. Comput. 139, 786-796, 1977.Coffey, M. W. "量子场论中出现的 ln tan 积分的计算。" J. Math. Phys. 49, 093508-1-15, 2008a.Coffey, M. W. "量子场论中出现的 ln tan 积分的另一种计算方法。" Nov. 15, 2008b. http://arxiv.org/abs/0810.5077.Edwards, H. M. 费马大定理：代数数论的遗传学导论。 New York: Springer-Verlag, 2000.Hecke, E. "关于通过函数方程确定狄利克雷级数。" Math. Ann. 112, 664-699, 1936.Ireland, K. and Rosen, M. "狄利克雷 L-函数。" Ch. 16 in 现代数论经典导论，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 249-268, 1990.Koch, H. "L-级数。" Ch. 7 in 数论：代数数与函数。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 203-258, 2000.Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "某些狄利克雷级数的计算。" Math. Comput. 17, 135-154, 1963.Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "“某些狄利克雷级数的计算”的勘误。" Math. Comput. 17, 488, 1963.Sloane, N. J. A. Sequences A003657/M2332, A003658/M3776, and A103133 in "整数数列在线大全。"Tyagi, S. "黎曼 Zeta 函数、Lerch 函数和狄利克雷 L 函数的双指数方法。" https://arxiv.org/abs/2203.02509. 7 Mar 2022.Zagier, D. "双曲流形与 Dedek金 zeta 函数的特殊值。" Invent. Math. 83, 285-301, 1986.Zucker, I. J. and Robertson, M. M. "狄利克雷 L-级数的一些性质。" J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1207-1214, 1976.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

狄利克雷 L-级数

请引用为

Weisstein, Eric W. “狄利克雷 L-级数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DirichletL-Series.html

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