勒奇超越函数

勒奇超越函数是 赫尔维茨 zeta 函数 和 多重对数函数 的推广。许多倒数 幂 的和可以用它来表示。经典定义为

(1)

对于 和 , , .... 它以这种形式在HurwitzLerchPhi[z, s, a] 中实现 Wolfram 语言。

稍微不同的形式

(2)

有时也表示为 ，对于 (或 和 ) 和 , , , ..., 在 Wolfram 语言 中实现为LerchPhi[z, s, a]。请注意，仅对于 这两者是相同的。

一个用于 的级数公式，在复数 平面上更大的域内有效，由下式给出

(3)

对于所有复数 和复数 ，其中 (Guillera 和 Sondow 2005) 成立。

勒奇超越函数可以用来表示 狄利克雷 beta 函数

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一个特例由下式给出

(6)

(Guillera 和 Sondow 2005)，其中 是 多重对数函数。

给出简单常数的特例包括

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其中 是 卡塔兰常数， 是 阿佩里常数，并且 是 格莱舍-金克林常数 (Guillera 和 Sondow 2005)。

它给出了 费米-狄拉克分布 的积分

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其中 是 伽玛函数， 是 多重对数函数 和 玻色-爱因斯坦分布

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二重积分 涉及勒奇超越函数，包括

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其中 是 伽玛函数。这些公式引出了各种美丽的 单位正方形积分 特例 (Guillera 和 Sondow 2005)。

它也可以用来评估 狄利克雷 L 级数。