一种 特殊函数,最常用的符号是 ,
, 或
,它由
阶 导数 的 对数 的 伽玛函数
(或者,根据定义,是 阶乘
的导数)。 这等价于
阶正常导数的 对数导数 的
(或
) ,在前一种情况下,等价于
阶正常导数的 双伽玛函数
。 由于定义的这种歧义,有时(但并非总是)使用两种不同的符号,即
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对于 ,可以写成
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其中 是 Hurwitz zeta 函数。
备用记号
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有时会使用,两种记号通过下式关联
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不幸的是,Morse 和 Feshbach (1953) 采用了一种不再常用的记号,其中 Morse 和 Feshbach 的 "" 等于通常记号中的
。 另请注意,函数
等价于 双伽玛函数
,而
有时被称为 三伽玛函数。
在 Wolfram 语言 中实现为PolyGamma[n, z],对于正整数
。 事实上,PolyGamma[nu, z] 支持所有复数
(Grossman 1976; Espinosa and Moll 2004)。
多伽玛函数服从 递推关系
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反射 公式
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和乘法 公式,
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其中 是 Kronecker delta。
多伽玛函数与 Riemann zeta 函数 和广义 调和数
相关,通过
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对于 , 2, ...,并根据 Hurwitz zeta 函数
表示为
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一般来说,整数索引的特殊值由下式给出
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等等。
多伽玛函数可以用 Clausen 函数 表示,对于 有理 自变量和整数索引。 特殊情况由下式给出
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其中 是 Catalan 常数,
是 Riemann zeta 函数,而
是 Dirichlet beta 函数。