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多伽玛函数


Polygamma

一种 特殊函数,最常用的符号是 psi_n(z), psi^((n))(z), 或 F_n(z-1),它由 (n+1)导数对数伽玛函数 Gamma(z)(或者,根据定义,是 阶乘 z! 的导数)。 这等价于 n 阶正常导数的 对数导数Gamma(z) (或 z!) ,在前一种情况下,等价于 n 阶正常导数的 双伽玛函数 psi_0(z)。 由于定义的这种歧义,有时(但并非总是)使用两种不同的符号,即

psi_n(z)=(d^(n+1))/(dz^(n+1))ln[Gamma(z)]
(1)
=(d^n)/(dz^n)(Gamma^'(z))/(Gamma(z))
(2)
=(d^n)/(dz^n)psi_0(z),
(3)

对于 n>0,可以写成

psi_n(z)=(-1)^(n+1)n!sum_(k=0)^(infty)1/((z+k)^(n+1))
(4)
=(-1)^(n+1)n!zeta(n+1,z),
(5)

其中 zeta(a,z)Hurwitz zeta 函数

备用记号

 F_n(z)=(d^(n+1))/(dz^(n+1))lnz!
(6)

有时会使用,两种记号通过下式关联

 psi_n(z)=F_n(z-1).
(7)

不幸的是,Morse 和 Feshbach (1953) 采用了一种不再常用的记号,其中 Morse 和 Feshbach 的 "psi_n(z)" 等于通常记号中的 psi_(n-1)(z)。 另请注意,函数 psi_0(z) 等价于 双伽玛函数 Psi(z),而 psi_1(z) 有时被称为 三伽玛函数

psi_n(z)Wolfram 语言 中实现为PolyGamma[n, z],对于正整数 n。 事实上,PolyGamma[nu, z] 支持所有复数 nu (Grossman 1976; Espinosa and Moll 2004)。

多伽玛函数服从 递推关系

 psi_n(z+1)=psi_n(z)+(-1)^nn!z^(-n-1),
(8)

反射 公式

 psi_n(1-z)+(-1)^(n+1)psi_n(z)=(-1)^npi(d^n)/(dz^n)cot(piz),
(9)

和乘法 公式

 psi_n(mz)=delta_(n0)lnm+1/(m^(n+1))sum_(k=0)^(m-1)psi_n(z+k/m),
(10)

其中 delta_(mn)Kronecker delta

多伽玛函数与 Riemann zeta 函数 zeta(s) 和广义 调和数 H_(z-1)^((n+1)) 相关,通过

 psi_n(z)=(-1)^(n+1)n![zeta(n+1)-H_(z-1)^((n+1))]
(11)

对于 n=1, 2, ...,并根据 Hurwitz zeta 函数 zeta(s,a) 表示为

 psi_n(z)=(-1)^(n+1)n!zeta(n+1,z).
(12)

欧拉-马歇罗尼常数双伽玛函数 psi_0(x) 的一个特殊值,其中

gamma=-Gamma^'(1)
(13)
=-psi_0(1).
(14)

一般来说,整数索引的特殊值由下式给出

psi_n(1)=(-1)^(n+1)n!zeta(n+1)
(15)
psi_n(1/2)=(-1)^(n+1)n!(2^(n+1)-1)zeta(n+1),
(16)

给出 双伽玛函数三伽玛函数 和四伽玛函数恒等式

psi_1(1/2)=1/2pi^2
(17)
psi_1(1)=zeta(2)
(18)
=1/6pi^2
(19)
psi_2(1)=-2zeta(3)
(20)
psi_3(1/2)=pi^4,
(21)

等等。

多伽玛函数可以用 Clausen 函数 表示,对于 有理 自变量和整数索引。 特殊情况由下式给出

psi_1(1/3)=2/3pi^2+3sqrt(3)Cl_2(2/3pi)
(22)
psi_1(2/3)=2/3pi^2-3sqrt(3)Cl_2(2/3pi)
(23)
psi_1(1/4)=pi^2+8K
(24)
psi_1(3/4)=pi^2-8K
(25)
psi_2(1/2)=-14zeta(3)
(26)
psi_2(1/3)=-(4pi^3)/(3sqrt(3))-18Cl_3(0)+18Cl_3(2/3pi)
(27)
psi_2(2/3)=(4pi^3)/(3sqrt(3))-18Cl_3(0)+18Cl_3(2/3pi)
(28)
psi_2(1/4)=-2pi^3-56zeta(3)
(29)
psi_2(3/4)=2pi^3-56zeta(3)
(30)
psi_2(1/6)=-182zeta(3)-4sqrt(3)pi^3
(31)
psi_2(5/6)=-182zeta(3)+4sqrt(3)pi^3
(32)
psi_3(1/3)=8/3pi^4+162sqrt(3)Cl_4(2/3pi)
(33)
psi_3(2/3)=8/3pi^4-162sqrt(3)Cl_4(2/3pi)
(34)
psi_3(1/4)=8pi^4+768beta(4)
(35)
psi_3(3/4)=8pi^4-768beta(4),
(36)

其中 KCatalan 常数zeta(z)Riemann zeta 函数,而 beta(z)Dirichlet beta 函数


另请参阅

Catalan 常数, Clausen 函数, 双伽玛函数, Dirichlet Beta 函数, 欧拉-马歇罗尼积分, 伽玛函数, 高斯双伽玛定理, 调和数, 周期 Zeta 函数, q-多伽玛函数, Riemann Zeta 函数, Stirling 级数, 三伽玛函数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/PolyGamma2/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Polygamma Functions." §6.4 in 数学函数手册,包含公式、图表和数学表格,第 9 版印刷。 New York: Dover, p. 260, 1972.Adamchik, V. S. "负阶多伽玛函数." J. Comput. Appl. Math. 100, 191-199, 1999.Arfken, G. "双伽玛函数和多伽玛函数." §10.2 in 物理学家的数学方法,第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.Berndt, B. C. Ramanujan 的笔记本:第一部分。 New York: Springer-Verlag, p. 163, 1985.Davis, H. T. 高等数学函数表。 Bloomington, IN: Principia Press, 1933.Espinosa, O. and Moll, V. H. "广义多伽玛函数." Integral Trans. Special Func. 15, 101-115, 2004.Grossman, N. "任意阶多伽玛函数." SIAM J. Math. Anal. 7, 366-372, 1976.Hansen, E. R. 级数和乘积表。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.Kölbig, K. S. "多伽玛函数 psi_k(x) 对于 x=1/4x=3/4." J. Comp. Appl. Math. 75, 43-46, 1996.Kölbig, K. S. "多伽玛函数和有理数自变量的余切函数的导数。" Report CN/96/5. CERN Computing and Networks Division, 1996.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理学方法,第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 422-424, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

多伽玛函数

引用为

韦斯坦因,埃里克·W. "多伽玛函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PolygammaFunction.html

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