复残数

Laurent 级数中常数

(1)

关于点 的 称为 的留数。如果 在 解析，则其留数为零，但反之不一定成立（例如， 在 处的留数为 0，但在 处不解析）。函数 在点 的留数可以表示为 。留数在 Wolfram 语言中实现为Residue[f, z, z0]。

留数的两个基本例子由 和 给出，对于 。

函数 绕点 的留数也由下式定义

(2)

其中 是逆时针简单闭合 轮廓，足够小以避免 的任何其他 极点。事实上，任何逆时针路径，其 轮廓缠绕数 为 1，且不包含任何其他 极点，根据 柯西积分公式，都会得到相同的结果。上图显示了一个合适的 轮廓，用于定义函数的留数，其中极点以黑点表示。

考虑 亚纯 1-形式 的留数更为自然，因为它与坐标的选择无关。在 黎曼曲面 上，亚纯 1-形式 在点 的留数定义为，在点 周围的坐标 中写作 。然后

(3)

的留数之和在 黎曼球面 上为零。更一般地，紧 黎曼曲面 上的 亚纯 1-形式 的留数之和必须为零。

函数 的留数可以找到，而无需显式展开为 Laurent 级数，方法如下。如果 在 极点 阶 处有 极点，则对于 和 ，有 。因此，

			(4)
			(5)

两边乘以 得到

(6)

取一阶导数并重新索引，

			(7)
			(8)
			(9)

取二阶导数并重新索引，

			(10)
			(11)
			(12)

迭代得到

			(13)
			(14)

所以

			(15)
			(16)

因为 ，所以留数为

(17)

全纯函数 在其 极点 的留数表征了函数的大部分结构，例如出现在惊人的 围道积分 留数定理 中。