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狄利克雷 Beta 函数

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狄利克雷 beta 函数由以下求和定义

beta(x)=sum_(n=0)^(infty)(-1)^n(2n+1)^(-x)
(1)
=2^(-x)Phi(-1,x,1/2),
(2)

其中 Phi(z,s,a) 是 Lerch 超越函数。beta 函数可以用 Hurwitz zeta 函数 zeta(x,a) 表示为

beta(x)=1/(4^x)[zeta(x,1/4)-zeta(x,3/4)].
(3)

beta 函数可以使用解析延拓在整个复平面上定义，

beta(1-z)=(2/pi)^zsin(1/2piz)Gamma(z)beta(z),
(4)

其中 Gamma(z) 是 gamma 函数。

狄利克雷 beta 函数在 Wolfram 语言中实现为DirichletBeta[x].

beta 函数可以直接评估特殊形式的参数，如

beta(-2k)=1/2E_(2k)
(5)
beta(-2k-1)=0
(6)
beta(2k+1)=((-1)^kE_(2k))/(2(2k)!)(1/2pi)^(2k+1),
(7)

其中 E_n 是欧拉数。

的特定值包括

beta(1)=1/4pi
(8)
beta(2)=K
(9)
beta(3)=1/(32)pi^3
(10)
beta(4)=1/(768)[psi_3(1/4)-8pi^4],
(11)

其中 K 是 Catalan 常数，psi_n(x) 是多伽玛函数。对于 n=1, 3, 5, ..., beta(n)=rpi^n, 其中倍数是 1/4, 1/32, 5/1536, 61/184320, ... (OEIS A046976 和 A053005)。

它涉及以下积分

int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+x^2y^2)dxdy=Gamma(s+2)beta(s+2)
(12)

(Guillera 和 Sondow 2005)。

Rivoal 和 Zudilin (2003) 证明了至少七个数字 beta(2), beta(4), beta(6), beta(8), beta(10), beta(12), 和 beta(14) 中有一个是无理数。

导数 beta^'(x)|_(x=n) 也可以在许多整数值 n 上进行解析计算，包括

beta^'(-1)=(2K)/pi
(13)
=0.583121808...
(14)
beta^'(0)=ln[(Gamma^2(1/4))/(2pisqrt(2))]
(15)
=0.391594392...
(16)
beta^'(1)=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1)ln(2n+1))/((2n+1))
(17)
=1/4pi{gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}
(18)
=0.192901316...
(19)

(OEIS A133922, A113847, 和 A078127)，其中 K 是 Catalan 常数，Gamma(z) 是 gamma 函数，gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数。

一个涉及 beta^'(n) 的漂亮求和由下式给出

sum_(k=1)^inftyln[((4k+1)^(1/(4k+1)^n))/((4k-1)^(1/(4k-1)^n))]=-beta^'(n)
(20)

对于正整数 n。

另请参阅

Catalan 常数, 狄利克雷 Eta 函数, 狄利克雷 Lambda 函数, Hurwitz Zeta 函数, Legendre's Chi 函数, Lerch 超越函数, 黎曼 Zeta 函数, Sierpiński 常数, Zeta 函数

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参考资料

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 807-808, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: 解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, p. 384, 1987.Comtet, L. 问题 37，高级组合数学：有限和无限展开的艺术，修订和扩充版。 Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 89, 1974.Guillera, J. 和 Sondow, J. "双重积分和无限乘积，用于通过 Lerch 超越函数的解析延拓获得一些经典常数。" 2005 年 6 月 16 日 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Rivoal, T. 和 Zudilin, W. "与 Catalan 常数相关的数字的丢番图性质。" Math. Ann. 326, 705-721, 2003. http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A046976, A053005, A078127, A113847, 和 A133922 在 "整数序列在线百科全书" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "Zeta 数和相关函数。" Ch. 3 在 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 25-33, 1987.Mathews, J. 和 Walker, R. L. 物理学的数学方法，第二版。 Reading, MA: W. A. Benjamin/Addison-Wesley, p. 57, 1970.

在 Wolfram|Alpha 上引用

狄利克雷 Beta 函数

引用为

Weisstein, Eric W. “狄利克雷 Beta 函数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DirichletBetaFunction.html

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