对于任意两个非零 p-adic 数 
和 
, 希尔伯特符号定义为
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(1)
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如果 
-adic 域不明确，则称其为 
和 
相对于 
的希尔伯特符号。该域也可以是实数 (
)。希尔伯特符号满足以下公式
1. 
.
2. 
对于任何 
。
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
希尔伯特符号仅取决于 
和 
模平方的值。因此，该符号是一个映射 
。
希尔伯特证明对于任意两个非零有理数 
和 
，
1. 
对于几乎所有素数 
。
2. 
其中 
遍历所有素数，包括对应于实数的 
。
