算术平均数

一组数值的算术平均数通常被称为“平均数”或“平均值”。 给定一组样本 ，算术平均数是

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它可以使用 Wolfram 语言 计算，使用方法是Mean[list].

算术平均数是 的特殊情况，即 幂平均，并且是 毕达哥拉斯平均数 之一。

当被视为底层分布均值的估计量（称为 总体均值）时，样本 的算术平均数称为 样本均值。

对于 连续 分布函数，总体的算术平均数，表示为 ， ， ，或 ，并称为分布的 总体均值，由下式给出

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其中 是 期望值。 类似地，对于 离散分布，

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算术平均数满足

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和

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如果 和 是 独立统计量。“样本均值”，即从统计样本估计的均值，是总体均值的 无偏估计量。

Hoehn 和 Niven (1985) 表明

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对于任何常数 。 对于正参数，算术平均数满足

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其中 是 几何平均数， 是 调和平均数 (Hardy et al. 1952, Mitrinović 1970, Beckenbach and Bellman 1983, Bullen et al. 1988, Mitrinović et al. 1993, Alzer 1996)。 这可以如下所示。 对于 ,

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当且仅当 iff 时等号成立。 为了证明不等式的第二部分，

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当且仅当 iff 时等号成立。 结合 (◇) 和 (◇) 得到 (◇)。

给定 个独立的随机 正态分布 变量 ，每个变量都具有 总体均值 和 方差 ，

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因此，样本均值是总体均值的 无偏估计量。 然而， 的分布取决于样本大小。 对于大样本， 近似于 正态分布。 对于小样本，应使用 学生t分布。

样本均值的 方差 与分布无关，由下式给出

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对于小样本，样本均值是 总体均值 比 统计中位数 更有效的估计量，并且大约小 (Kenney 和 Keeping 1962, p. 211)。 在这里，如果一个概率分布参数的估计量比另一个估计量具有更小的 方差，则称该估计量更有效。 在这种情况下，样本均值的方差通常小于样本中位数的方差。 两个估计量的相对效率是此方差的比率。

一个通常近似成立的通用表达式是

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(Kenney 和 Keeping 1962)。