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调和平均数

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调和平均数 H(x_1,...,x_n) 个 n 数字 x_i （其中 i=1, ..., n) 是由下式定义的数字 H

1/H=1/nsum_(i=1)^n1/(x_i).
(1)

可以使用 Wolfram 语言 计算数字列表的调和平均数，使用HarmonicMean[list].

因此，n=2 和 n=3 的特殊情况由下式给出

H(x_1,x_2)=(2x_1x_2)/(x_1+x_2)
(2)
H(x_1,x_2,x_3)=(3x_1x_2x_3)/(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),
(3)

等等。

从 1 到 n 的整数的调和平均数，对于 n=1, 2, ... 是 1, 4/3, 18/11, 48/25, 300/137, 120/49, 980/363, ... (OEIS A102928 和 A001008)。

对于 n=2，调和平均数与算术平均数 A 和 几何平均数 G 的关系为

H=(G^2)/A
(4)

(Havil 2003, p. 120)。

调和平均数是幂平均的特殊情况 M_(-1)，并且是毕达哥拉斯平均数之一。在较旧的文献中，有时称为次反平均数。

圆柱容器的高度 h 和半径 r 的体积与表面积之比，以及一般曲面的平均曲率与调和平均数有关。

Hoehn 和 Niven (1985) 表明

H(a_1+c,a_2+c,...,a_n+c)>c+H(a_1,a_2,...,a_n)
(5)

对于任何正数常数 c。

另请参阅

算术平均数, 算术-几何平均数, 几何平均数, 调和-几何平均数, 调和范围, 幂平均数, 毕达哥拉斯平均数, 均方根

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 10, 1972.Havil, J. Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 119-121, 2003.Hoehn, L. 和 Niven, I. "移动平均数。" Math. Mag. 58, 151-156, 1985.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "调和平均数。" §4.13 in 统计数学，第 1 部分，第 3 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 57-58, 1962.Sloane, N. J. A. 数列 A001008/M2885 和 A102928 in "整数数列线上百科全书。"Zwillinger, D. (编辑). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 602, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

调和平均数

请引用为

Weisstein, Eric W. "调和平均数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HarmonicMean.html

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