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幂平均

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幂平均是以下形式的均值

M_p(a_1,a_2,...,a_n)=(1/nsum_(k=1)^na_k^p)^(1/p),
(1)

其中参数 p 是一个 仿射扩展实数 且所有 a_k>=0。幂平均也称为广义平均、赫尔德平均、p 次（或阶或幂）均值或幂平均。

下表总结了一些作为广义平均特例的常用命名均值，其中

M_0(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->0)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(2)

且

M_(-infty)(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->-infty)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(3)
=min(a_1,a_2,...,a_n)
(4)
M_infty(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->infty)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(5)
=max(a_1,a_2,...,a_n).
(6)
M_p符号均值
M_(-infty)min最小值
M_(-1)H调和平均数
M_0G几何平均数
M_1A算术平均数
M_2RMS均方根
M_inftymax最大值
GeneralizedMeans

上面的图通过绘制特殊值来可视化广义平均值

M_p(x,1)={x for p=-infty; (2x)/(1+x) for p=-1; sqrt(x) for p=0; (1+x)/2 for p=1; sqrt((1+x^2)/2) for p=2; 1 for p=infty
(7)

其中 p=-infty 为红色，-1 为橙色，0 为黑色，1 为绿色，2 为蓝色，infty 为紫色。

另请参阅

算术平均数, 几何平均数, 调和平均数, 均值, 毕达哥拉斯平均数, 均方根

此条目部分内容由 David W. Cantrell 贡献

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参考文献

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "General Means and Iterations." Ch. 8 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Bullen, P. S. "The Power Means." Ch. 3 in Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; 和 Pólya, G. Inequalities. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1952.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 121, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中引用

幂平均

引用为

Cantrell, David W. 和 Weisstein, Eric W. “幂平均。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PowerMean.html

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