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斯坦纳外接椭圆

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斯坦纳外接椭圆是外接椭圆，它是等角共轭的无穷远线和等速共轭的勒穆瓦纳轴。它具有外接圆锥曲线参数

x:y:z=1/a:1/b:1/c,
(1)

给出三线性方程

1/(aalpha)+1/(bbeta)+1/(cgamma)=0
(2)

(Vandeghen 1965; Kimberling 1998, p. 236)。斯坦纳外接椭圆通常简称为“斯坦纳椭圆”，但“外接椭圆”的称谓有助于将其与不太重要的曲线（即斯坦纳内切椭圆）区分开来。

SteinerEllipse

它是唯一通过三角形 DeltaABC 的顶点且以 G 的三角形质心 G 为中心的椭圆。斯坦纳外接椭圆也是通过 A、B 和 C 的面积最小的椭圆 (Kimberling)。

斯坦纳外接椭圆上任何点的塞瓦三角形的面积是 -2Delta，其中 Delta 是参考三角形的面积。

斯坦纳外接椭圆的极三角形是反补三角形。

斯坦纳外接椭圆的焦点被称为比卡特点。斯坦纳外接椭圆的半轴长度为

a=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2+2Z)
(3)
b=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2-2Z),
(4)

和焦距

c=2/3sqrt(Z),
(5)

其中

Z=sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2),
(6)

并且面积为

A=(4pi)/(3sqrt(3))Delta,
(7)

其中 Delta 是参考三角形的面积 (P. Moses, 私人通讯, 2004 年 12 月 31 日)。

主轴和短轴与斯坦纳外接椭圆的交点由 alpha:beta:gamma 给出，其中 alpha^2、beta^2 和 gamma^2 由四次方程的根给出

186624a^8Z^4alpha^8+62208a^6(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)Z^4alpha^6+864a^4(a-b-c)^2(a+b-c)^2(a-b+c)^2(a+b+c)^2(5a^4-5b^2a^2-5c^2a^2+6b^4+6c^4-7b^2c^2)Z^2alpha^4+16a^2(a-b-c)^3(a+b-c)^3(a-b+c)^3(a+b+c)^3(7a^4-7b^2a^2-7c^2a^2+4b^4+4c^4-b^2c^2)Z^2alpha^2+(a-b)^2(a+b)^2(a-c)^2(a-b-c)^4(a+b-c)^4(a+c)^2(a-b+c)^4(a+b+c)^4
(8)
186624b^8Z^4beta^8+62208b^6(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)Z^4beta^6+864b^4(a-b-c)^2(a+b-c)^2(a-b+c)^2(a+b+c)^2(6a^4-5b^2a^2-7c^2a^2+5b^4+6c^4-5b^2c^2)Z^2beta^4+16b^2(a-b-c)^3(a+b-c)^3(a-b+c)^3(a+b+c)^3(4a^4-7b^2a^2-c^2a^2+7b^4+4c^4-7b^2c^2)Z^2beta^2+(a-b)^2(a+b)^2(a-b-c)^4(b-c)^2(a+b-c)^4(a-b+c)^4(b+c)^2(a+b+c)^4
(9)
186624c^8Z^4gamma^8+62208(a-b-c)(a+b-c)c^6(a-b+c)(a+b+c)Z^4gamma^6+864(a-b-c)^2(a+b-c)^2c^4(a-b+c)^2(a+b+c)^2(6a^4-7b^2a^2-5c^2a^2+6b^4+5c^4-5b^2c^2)Z^2gamma^4+16(a-b-c)^3(a+b-c)^3c^2(a-b+c)^3(a+b+c)^3(4a^4-b^2a^2-7c^2a^2+4b^4+7c^4-7b^2c^2)Z^2gamma^2+(a-c)^2(a-b-c)^4(b-c)^2(a+b-c)^4(a+c)^2(a-b+c)^4(b+c)^2(a+b+c)^4.
(10)

显式地，与主轴的交点是

1/a[1+/-sqrt((2(Z-a^2)+(b^2+c^2))/Z)] :1/b[1∓sqrt((2(Z-b^2)+(a^2+c^2))/Z)] :1/c[1+/-sqrt((2(Z-c^2)+(a^2+b^2))/Z)]
(11)

与短轴的交点是

1/a[1+/-sqrt((2(Z+a^2)-(b^2+c^2))/Z)] :1/b[1∓sqrt((2(Z+b^2)-(a^2+c^2))/Z)] :1/c[1∓sqrt((2(Z+c^2)-(a^2+b^2))/Z)].
(12)

它通过 Kimberling 中心 X_i，其中 i=99 ( 斯坦纳点 )、190 ( Yff 抛物线的 布里安松点 )、290、648、664、666、668、670、671、886、889、892、903、1121、1494、2479、2480、2481 和 2966。

斯坦纳外接椭圆也与 DeltaABC 的外接圆共享斯坦纳点 X_(99) 以及点 A、B 和 C (Kimberling 1998, p. 236; Kimberling)。

SteinerCircumellipseConway

椭圆的短轴可以构造为 ∠KGS 或 ∠OGT 的角平分线，其中 S 是斯坦纳点，T 是塔里点，O 是外心，K 是外切点 (Conway 2000)。这些轴平行于基珀特双曲线的渐近线 (Conway 2000, Yiu 2003)。

SteinerCircumellipseMoses

另一个巧妙的构造是构造勒穆瓦纳轴与帕里圆的交点，然后注意到连接三角形质心 G 与交点即可得到轴 (P. Moses, 私人通讯, 2004 年 12 月 31 日)。

斯坦纳外接椭圆与矩形外接双曲线 ABCHP (对于 P=alpha:beta:gamma) 的第四个交点具有中心函数

alpha_P=1/(a[abetagamma-(balphabeta+calphagamma)cosA]),
(13)

它是外心和 P 的等角共轭的连线与勒穆瓦纳轴的交点的等角共轭。下表总结了各种命名的矩形外接双曲线的这些点 (P. Moses, 私人通讯, 2004 年 12 月 31 日)。

外接双曲线Kimberling
费尔巴哈双曲线X_(2481)
耶拉贝克双曲线X_(290)
基珀特双曲线X_(671)

另请参阅

比卡特点, 等角共轭, 无穷远线, 斯坦纳内切椭圆, 汤姆森图形

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参考文献

Casey, J. 点、线、圆和圆锥曲线的解析几何专著，包含其最新扩展的说明及大量示例，第二版修订增补版 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 451-458, 1893.Conway, J. H. Message 1237. Hyacinthos mailing list. Aug. 18, 2000.Gallatly, W. 三角形的现代几何学，第二版 London: Hodgson, p. 108, 1913.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "斯坦纳点。" http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/steiner.html.Vandeghen, A. "关于等角和塞瓦变换的一些评论。三角形的显着点对齐。" Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.Yiu, P. "关于费马线。" Forum Geom. 3, 73-81, 2003. http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200307index.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

斯坦纳外接椭圆

请引用为

Weisstein, Eric W. "斯坦纳外接椭圆。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SteinerCircumellipse.html

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