幻方

幻方是一个由不同的正整数 1, 2, ..., 组成的平方数组，排列方式使得任何水平、垂直或主对角线上的 个数字之和始终是相同的数字（Kraitchik 1942, p. 142; Andrews 1960, p. 1; Gardner 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson and Jacoby 1981, p. 3; Ball and Coxeter 1987, p. 193），称为幻和

如果从 中减去幻方中的每个数字，则得到另一个幻方，称为互补幻方。由从 1 开始的连续数字组成的方阵有时被称为“标准”幻方。

三阶唯一标准幻方为古代中国人所知，他们称之为洛书。底行相邻中间列数字为 15 和 14 的 4 阶幻方版本称为丢勒幻方。上面显示了 3 阶到 8 阶的幻方。

对于以整数 开头且条目为递增的公差为 的等差数列的 阶通用幻方的幻和为

（Hunter 和 Madachy 1975）。

确定任意阶幻方的数量是一个未解问题，但阶数为 、2、... 的不同幻方（不包括通过旋转和反射获得的幻方）的数量分别为 1、0、1、880、275305224、... (OEIS A006052; Madachy 1979, p. 87)。弗renicle de Bessy 在 1693 年枚举了 880 个四阶幻方，并在 Berlekamp et al. (1982, pp. 778-783) 中进行了说明。R. Schroeppel 于 1973 年计算了 幻方的数量。 阶幻方的数量尚不清楚，但 Pinn 和 Wieczerkowski (1998) 使用蒙特卡罗模拟和统计力学方法估计其数量为 。Berlekamp et al. (1982) 和 MathPages 网站讨论了枚举幻方的方法。

如果一个方阵未能成为幻方仅仅是因为一个或两个主对角线之和不等于幻和，则称其为半幻方。如果幻方的所有对角线（包括通过环绕获得的对角线）之和都等于幻和，则该方阵被称为泛幻方（也称为完全幻方或pandiagonal square）。如果将每个数字 替换为其平方 后产生另一个幻方，则该方阵被称为双重幻方（或二重幻方）。如果一个方阵对于 、 和 都是幻方，则它被称为三重幻方（或三阶幻方）。如果所有关于中心对称位置的数字对之和都为 ，则该方阵被称为结合幻方。

可以使用乘法而不是加法构造幻方，称为乘法幻方。此外，可以构造在加法和乘法下都是幻方的方阵，称为加法-乘法幻方（Hunter 和 Madachy 1975）。

Kraitchik (1942) 给出了构造 偶数 和 奇数 阶数 幻方的通用技术。对于 奇数，可以使用一种非常直接的技术，称为暹罗方法，如上图所示（Kraitchik 1942, pp. 148-149）。它首先将 1 放在顶行的中心方格中，然后以递增的方式将后续数字放在上方和右侧一个单元格的方格中。计数是环绕的，因此从顶部掉下来会回到底部，从右侧掉下来会回到左侧。当遇到一个已填充的方格时，下一个数字将改为放置在前一个数字的下方，并且该方法像以前一样继续。该方法也称为 de la Loubere 方法，据称是在 de la Loubere 担任暹罗大使返回法国后首次在西方报道的。

此方法的一种推广使用“普通向量”，它给出了每次非冲突移动的偏移量，以及“中断向量”，它给出了发生冲突时引入的偏移量。因此，标准暹罗方法的普通向量为 (1, ，中断向量为 (0, 1)。为了使其产生幻方，每次中断移动都必须在未填充的单元格上结束。可以通过考虑绝对和 、、 和 来构造特殊的幻方类。将这些数字的集合称为 sumdiffs（和与差）。如果所有 sumdiffs 都与 互质，并且该方阵是幻方，则该方阵也是泛幻方。该理论起源于 de la Hire。下表给出了普通向量和中断向量的特定选择的 sumdiffs。

普通向量	中断向量	sumdiffs	幻方	泛幻方
(1, )	(0, 1)	(1, 3)		无
(1, )	(0, 2)	(0, 2)		无
(2, 1)	(1, )	(1, 2, 3, 4)		无
(2, 1)	(1, )	(0, 1, 2, 3)
(2, 1)	(1, 0)	(0, 1, 2)		无
(2, 1)	(1, 2)	(0, 1, 2, 3)		无

J. H. Conway 讨论了另一种生成奇数阶幻方的方法，名为“菱形”方法。如上图所示，在此方法中，奇数沿方阵中央部分的菱形形状的对角线构建。然后，将错过的偶数沿通过环绕方阵获得的对角线的延续线顺序添加，直到环绕的对角线到达其初始点。在上面的方阵中，第一条对角线因此填充了 1、3、5、2、4，第二条对角线填充了 7、9、6、8、10，依此类推。

构造 阶双偶数幻方的一种优雅方法是绘制穿过每个 s 子方阵，并按顺序填充所有方格。然后用 替换划掉的对角线上的每个条目 ，或者等效地，反转划掉条目的顺序。因此，在上面 的示例中，划掉的数字最初是 1、4、...、61、64，因此条目 1 被替换为 64，4 被替换为 61，依此类推。

J. H. Conway 提出了一种非常优雅的方法，用于构造 阶单偶数幻方，其中 （不存在 2 阶幻方），他称之为“LUX”方法。创建一个由 行 L、1 行 U 和 行 s 组成的数组，所有行的长度均为 。将中间的 U 与其上方的 L 互换。现在，使用以字母数组为中心的暹罗方法（从顶行中心方格开始）生成 阶幻方，但根据字母规定的顺序，顺序填充围绕字母的每组四个方格。该顺序在上图的左侧进行了说明，完成的方阵在上图的右侧进行了说明。字母 L、U 和 X 的“形状”自然地暗示了填充顺序，因此该算法得名。

还可以使用字母（在定义方阵时或作为其中的条目）构造幻方的变体，例如字母幻方和圣殿骑士幻方。

各种命理学性质也与幻方相关联。Pivari 将上面说明的方阵分别与土星、木星、火星、太阳、金星、水星和月球联系起来。通过连接每个方阵中的连续数字（太阳幻方除外）可以获得吸引人的图案。