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双重幻方

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如果在幻方中将每个数字替换为其平方后产生另一个幻方，则该幻方被称为双重幻方。双重幻方也称为双魔幻方，是 2-多重幻方。

卢卡斯 (1891) 和后来的亨德里克斯 (1998) 表明，对于任何数字集，除了使用相同数字 9 次的简单情况外，3 阶双重幻方是不可能的。

BimagicSquares8

第一个已知的双重幻方，由 Pfeffermann (1891a；左图) 构建，具有 8 阶，基本幻方的幻和为 260，平方后的幻和为 11180。右图显示了另一个 8 阶双重幻方。

本森和雅各比 (1976) 表示他们相信不存在小于 8 阶的双重幻方，后来 Boyer 和 Trump 在 2002 年证明了这一点 (Boyer)。

BimagicSquare9

Pfeffermann (1891b) 还发表了第一个 9 阶双重幻方。仅发表了 Pfeffermann 最初的 8 阶和 9 阶双重幻方的一部分，其余部分作为谜题留给读者完成，其解决方案在随后几期的两周后出现 (Boyer)。

BimagicSquare6

Wroblewski 发现了第一个已知的 6×6 双重幻方，它使用不同的（但非连续的）整数 (Boyer 2006)，如上所示。

另请参阅

双重幻立方, 幻方, 多重幻方, 泛幻方, 三重幻方

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参考文献

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 212, 1987.Benson, W. H. and Jacoby, O. New Recreations with Magic Squares. New York: Dover, 1976.Boyer, C. "Multimagic Squares." http://www.multimagie.com/indexengl.htm.Boyer, C. "Bimagic Squares." http://www.multimagie.com/English/Bimagic.htm.Boyer, C. "Smallest Bimagic Square." http://www.multimagie.com/English/Smallestbi.htm.Boyer, C. "Multimagie News." Apr. 4, 2006. http://www.multimagie.com/English/News0604.htm.Hendricks, J. R. "Note on the Bimagic Square of Order 3." J. Recr. Math. 29, 265-267, 1998.Hunter, J. A. H. and Madachy, J. S. "Mystic Arrays." Ch. 3 in Mathematical Diversions. New York: Dover, p. 31, 1975.Kraitchik, M. "Multimagic Squares." §7.10 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 143 and 176-178, 1942.Lucas, E. "Les carrés magiques. Sur le carré de 3 et sur les carrés à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 5, p. 7, March 1, 1891.Pfeffermann, G. "Carré magique à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 2, p. 6, January 15, 1891a.Pfeffermann, G. "Carré magique de 9 à deux degrés." Les Tablettes du Chercheur. No. 14, pp. 5-6, July 15, 1891b.

在 中被引用

双重幻方

请这样引用

Weisstein, Eric W. “双重幻方。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BimagicSquare.html

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