反幻方

反幻方是一个 数组，由 1 到 的整数组成，使得每行、列和主对角线的和都不同，并且这些和构成一个连续整数的 序列。因此，它是 异幻方 的特例。它由 Lindon (1962) 定义，并出现在 Madachy 的谜题集中 (Madachy 1979, p. 103)，最初发表于 1966 年。上面展示了 4-9 阶的反幻方 (Madachy 1979)。对于 阶幻方，和为 30, 31, 32, ..., 39；对于 阶幻方，和为 59, 60, 61, ..., 70；等等。

设一个 阶反幻方的条目为 0, 1, ..., , ，并设

是幻和。那么，如果存在 阶反幻方，则它要么是正的，和为 ，要么是负的，和为 (Madachy 1979)。

一阶、二阶和三阶的反幻方是不可能的。在 阶幻方的情况下，除了通过案例分析或计算机枚举外，没有已知的证明这一事实的方法。存在 18 个四阶反幻方族。在对称性的完整群（反射、旋转、补全和交换）下，1 阶、2 阶、... 的反幻方的总数为 0, 0, 0, 299710, ... (OEIS A050257; Cormie)。

Madachy (1979) 和 Abe (1994) 询问了构造任意阶反幻方的方法。最近，J. Cormie 和 V. Linek 开发了所有 阶 (所有 ) ，以及边界反幻方的一般构造方法。