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魔法六边形

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MagicHexagon

n 阶魔法六边形是由紧密排列的六边形组成的图形，其中包含数字 1, 2, ..., H_(n-1)，其中 H_n 是第 n 个六边形数，使得每条直线上的数字之和都相同。（这里，六边形数是 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, ...；OEIS A003215）。在上面的 3 阶魔法六边形中，每条线（长度为 3、4 和 5 的线）的总和为 38。

恩斯特·冯·哈塞尔伯格于 1887 年（Bauch 1990, Hemme 1990）、W. 拉德克利夫于 1895 年（Tapson 1987, Hemme 1990, Heinz）、H. 卢利 (Hendricks, Heinz)、马丁·库尔于 1940 年（Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973）、克利福德·W·亚当斯（他在 1910 年至 1957 年研究这个问题）（Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973）和维克斯 (1958; Trigg 1964) 独立发现了它。

这个问题和解决方案有着悠久的历史。亚当斯在 1910 年遇到了这个问题。他通过反复试验研究这个问题，多年后得出了解决方案，并将其 передал 给 M. 加德纳，加德纳将亚当斯的魔法六边形发送给查尔斯·W·特里格，特里格通过数学分析发现它是唯一的，不考虑旋转和反射（Gardner 1984, p. 24）。加德纳 (1963) 写下了亚当斯的结果和特里格的工作。特里格 (1964) 进行了进一步的研究，总结了已知的结果和这个问题 history。

特里格证明了 n 阶 n 六边形的幻和为

(9(n^4-2n^3+2n^2-n)+2)/(2(2n-1)),

前几个幻和为 1, 28/3, 38, 703/7, 1891/9, 4186/11, ... (OEIS A097361 和 A097362)，这需要 5/(2n-1) 为整数才能存在解。但这仅当 n=1（单个六边形的平凡情况）和亚当斯的 n=3（Gardner 1984, p. 24）时才为整数。

另请参阅

六边形数, 六边形, 幻图, 幻六芒星, 幻方, 帕斯卡定理, 护身符六边形

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参考文献

Abraham, K. Philadelphia Evening Bulletin. 1963 年 7 月 19 日，第 18 页和 1963 年 7 月 30 日。Bauch, H. F. "Zum magischen Sechseck von Ernst v. Haselberg." Wissenschaft und Fortschritt 40, 240-242 和封套第 4 页, 1990.Bauch, H. F. "Magische Figuren in Parketten." Math. Semesterber. 38, 99-115, 1991.Beeler, M. et al. Item 49 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 18, 1972 年 2 月. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item49.Berlekamp, E. R.; Conway, J. H; and Guy, R. K. Winning Ways for Your Mathematical Plays, Vol. 2: Games in Particular. London: Academic Press, 1982.Gardner, M. "Permutations and Paradoxes in Combinatorial Mathematics." Sci. Amer. 209, 112-119, 1963 年 8 月.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 22-24, 1984.Gardner, M. "Hexes and Stars." Ch. 2 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 15-24, 1988.Heinz, H. D. "More Magic Squares." http://www.magic-squares.net/moremsqrs.htm.Hemme, H. "Das magische Sechseck." Bild der Wissenschaft, 164-166, 1988 年 10 月.  Reprinted as "Das magische Sechseck." §1.6 in Das Beste aus dem Mathematischen Kabinett (Ed. T. Devendran). Stuttgart, Germany: Deutsche Verlag-Anstalt, pp. 36-41, 1990.Hemme, H. "Das magische Sechseck." Problem 88 in Mathematik zum Frühstück. Göttingen, Germany: Vandenhoeck & Ruprecht, p. 44, 1990.Hendricks, J. "A Magic Square Course." p. 7.Honsberger, R. Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 69-76, 1973.Kschischang, F. R. "The Magic Hexagon." 2000 年 9 月.  http://www.comm.toronto.edu/~frank/hexagon/proof.html.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 100-101, 1979.Pickover, C. A. "The Magic Hexagon." §139 in The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures Across Dimensions. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 325-340, 2002.Radcliffe, W. "Magic Hexagon." 1895.  http://www.johnrausch.com/PuzzleWorld/puz/magic_hexagon.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A003215/M4362、A097361 和 A097362，收录于《整数序列在线大全》。Tapson, F. "The Magic Hexagon: An Historical Note." Math. Gaz. 71, 217-229, 1987 年 10 月.Trigg, C. W. "A Unique Magic Hexagon." Recr. Math. Mag. 46, 40-43, 1964 年 1 月/2 月.  http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/magic-hexagon-trigg.Trigg, C. W. "P824：著名的魔法六边形。" Math. Mag. 45, 100, 1972.Trigg, C. W. "问题 P824 的解答。" Math. Mag. 46, 44-45, 1973.Vickers, T. "Magic Hexagon." Math. Gaz. 42, 291, 1958 年 12 月.von Haselberg, E. "3 阶唯一魔法六边形的问题与解答。" Manuscript, 1887.von Haselberg, E. "Aufgabe." §795 in Zeitschrift für mathematische und naturwissenschaftlichen Unterricht 19, 429, 1888.von Haselberg, E. "Auflösung." §801 in Zeitschrift für mathematische und naturwissenschaftlichen Unterricht 20, 263-264, 1889.

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魔法六边形

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "魔法六边形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MagicHexagon.html

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