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魔术常数

数字

M_2(n)=1/nsum_(k=1)^(n^2)k
(1)
=1/2n(n^2+1)
(2)

在 幻方 中，任意水平、垂直或主对角线上的 n 个数字之和必须等于该数字。前几个值是 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, ... (OEIS A006003)。对于以 整数 A 开头，且条目为公差为 D 的递增 等差数列 的 n 阶幻方，魔术常数为

M_2(n;A,D)=1/2n[2A+D(n^2-1)]
(3)

（Hunter 和 Madachy 1975，Madachy 1979）。在 泛幻方 中，除了主对角线之外，断对角线之和也等于 M_2(n)。

对于 幻立方、幻超正方体 等，魔术 d-D 常数为

M_d(n)=1/(n^(d-1))sum_(k=1)^(n^d)k
(4)
=1/2n(n^d+1).
(5)

下表总结了前几个魔术常数。

nM_2(n)M_3(n)M_4(n)
SloaneA006003A027441A021003
1111
25917
31542123
434130514
5653151565

对于 乘法幻方，存在相应的乘法魔术常数。

对于 幻级数 和 多重幻级数，类似阶数为 k 的魔术常数 M_n^((j)) 定义为前 n^2 个 k 次幂之和的 1/n 倍，

M_n^((k))=1/nsum_(i=1)^(n^2)i^k
(6)
=(H_(n^2)^((-p)))/n,
(7)

其中 H_n^((k)) 是 k 阶 调和数。下表给出了前几个值。

nk=1k=2k=3k=4
SloaneA006003A052459A052460A052461
11111
251550177
315956755111
434374462460962
565110521125430729

参见

幻立方, 魔术几何常数, 幻六边形, 幻级数, 幻方, 多重幻级数, 乘法幻方, 泛幻方

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参考文献

Hunter, J. A. H. 和 Madachy, J. S. "Mystic Arrays." Ch. 3 in Mathematical Diversions. New York: Dover, pp. 23-34, 1975.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 86, 1979.Pickover, C. A. The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures Across Dimensions. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002.Sloane, N. J. A. 序列 A006003/M3849, A021003, A027441, A052459, A052460, 和 A052461 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上引用

魔术常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "魔术常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MagicConstant.html

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